Exponentialrechnungen:Ableitung und Integral

17.05.2009, 15:09

Melike666

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Exponentialrechnungen:Ableitung und Integral

Guten Tag
Es tut mir sehr leid wenn es dieses Thema schon gib abe rich habe gesucht und daüber nichts gefunden....
Ich schreibe morgen eine Matheklausur und wollte hier meine gelösten Aufgaben korrigieren lassen.In meiner Klausur geht es um e-Funktionen ableiten und mithilfe dieser Integrale rechnen.Ich hoffe ich habe nicht all zu viele Fehler

Ableitung und Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-e^x <br /> F(x)=\frac{1}{2}x²- e^x <br /> f,(x)=1-e^x <br /> f"(x)=-e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=e+e^2^x<br /> f,(x)=1+2 e^2^x<br /> f"(x)=4 e^2^x <br /> F(x)=\frac{1}{2} e²+\frac{1}{2} e^2^x \end{eqnarray*}$

17.05.2009, 15:30

Witzkuminator

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stimmt. gibts irgendwelche generellen fragen oder wolltest du nur wissen ob die 3 sachen stimmen?

17.05.2009, 17:06

Melike666

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ich wollte wissen ob diese Ergebnisse stimmen
ist es richtig dass wenn eine e-Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^2^x <br /> abgeleitet<br /> f`(x)=2e^2^x<br /> f"(x)=4 e^2^x <br /> \end{eqnarray*}$
die Stammfunktion ist dann also:

$\begin{eqnarray*} F(x)= 1/2 e^2^x \end{eqnarray*}$

aber was ist dann die Stammfunktion von nur e allein.....
könnt ihr mir bitte helfen??
Danke im voraus

17.05.2009, 17:07

Melike666

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e^x

17.05.2009, 17:11

Melike666

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tut mir leid abe rich kann die formeln die ich möchte nicht bilden
ich versuche es auf eine andere weise

bei der e Funktion bleibt so viel ich weiss ddie Hochzahl z.b x
bei der Stammfunktion und bei den Ableitungen erhalten.....abe rich möchte nur die Stammfunktion und Ableitungen von nur e wissen....
kann mir jemand helfen??
Bitte

17.05.2009, 17:29

Witzkuminator

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Zitat:

Original von Melike666
ich wollte wissen ob diese Ergebnisse stimmen
ist es richtig dass wenn eine e-Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x} <br /> abgeleitet<br /> f'(x)=2e^{2x}<br /> f''(x)=4 e^{2x}<br /> \end{eqnarray*}$
die Stammfunktion ist dann also:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{2} e^{2x} \end{eqnarray*}$

aber was ist dann die Stammfunktion von nur e allein.....
könnt ihr mir bitte helfen??
Danke im voraus

ich hab mal deine "formeln" editiert so dass sie angezeigt werden

für die grundlegenden möglichkeiten mit latex terme darzustellen guck mal hier rein:

Wie kann man Formeln schreiben?

zur sache: das was du geschrieben hast stimmt soweit.

die n-te ableitung von

$\begin{eqnarray*} e^{c \cdot x} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} c^n \cdot e^{c \cdot x} \end{eqnarray*}$

egal wie oft du ableitest, der exponent bleibt immer gleich. nur der koeffizient wird jedesmal mit der ableitung des exponenten nach x multipliziert (wegen der kettenregel)

die stammfunktion stimmt auch, etwas allgemeiner:

$\begin{eqnarray*} \int e^{f(x)} dx = \frac{e^{f(x)}}{f'(x)} + c \end{eqnarray*}$

du musst beim bilden der stammfunktion also die e-funktion immer durch die ableitung des exponenten teilen

du willst die ableitung und stammfunktion von f(x) = e wissen? e ist doch einfach nur eine konstante mit e = 2718..., und die ableitung einer konstanten ist 0

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} c = 0 \end{eqnarray*}$

die stammfunktion einer konstanten ist

$\begin{eqnarray*} \int c \ dx = c \cdot x + c_2 \end{eqnarray*}$ ,

also ist für $\begin{eqnarray*} c = e \end{eqnarray*}$ eine stammfunktion $\begin{eqnarray*} c \cdot x \end{eqnarray*}$

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17.05.2009, 17:38

Melike666

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die Stammfunktion von e ist also nur e???

wie geht denn das dann die ableitung von e= 0 ist
ich kann das nicht nachvollziehen

aber das ehoch x gleich e hoch x ist stimmt doch oder??
das erzeugt sich selbst

17.05.2009, 17:57

Witzkuminator

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Zitat:

Original von Melike666
die Stammfunktion von e ist also nur e???

nein, eine stammfunktion von e ist $\begin{eqnarray*} e \cdot x \end{eqnarray*}$

weil e eine KONSTANTE ist, und deswegen $\begin{eqnarray*} (e \cdot x) ' = e \end{eqnarray*}$ ist

Zitat:

Original von Melike666
wie geht denn das dann die ableitung von e= 0 ist
ich kann das nicht nachvollziehen

aber das ehoch x gleich e hoch x ist stimmt doch oder??
das erzeugt sich selbst

achte mal etwas mehr auf deine notation, klar ist $\begin{eqnarray*} e^x = e^x \end{eqnarray*}$ , das was du meinst ist aber:

$\begin{eqnarray*} (e^x) ' = e^x \end{eqnarray*}$

und ja, das stimmt. die ableitung der exponentialfunktion ist die exponentialfunktion selbst

du kannst nicht einfach zwischen eine funktion und deren ableitung ein gleichheitsszeichen schreiben (wie bei e = 0), weil das in der regel (nur bei der exponentialfunktion) nicht der fall ist.

und nochmal: die ableitung von e ist 0, weil wir den term e nach x ableiten. im term kommt aber kein x vor, sondern nur eine KONSTANTE

und konstanten abgeleitet ergeben nunmal null, weil die ableitung die steigung einer funktion in einem beliebigen punkt angibt. eine konstante funktion hat aber überall die steigung 0.

graph von f(x) = e = 2,718... :

dieser graph hat überall die steigung 0, also ist f'(x) = 0. macht sinn, oder? smile

smile

und das gilt für jede konstante funktion.

17.05.2009, 18:00

Melike666

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ok
was ist denn nun die Stammfunktion von e ohne exponenten

17.05.2009, 18:04

Witzkuminator

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Zitat:

Original von Melike666
ok
was ist denn nun die Stammfunktion von e ohne exponenten

wenn du mit einer potenz "ohne exponent" $\begin{eqnarray*} e^0 \end{eqnarray*}$ meinst, dann ist

$\begin{eqnarray*} e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ nach definition.

die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} F(x) = x \end{eqnarray*}$ ,
weil x abgeleitet 1 ergibt.

17.05.2009, 18:15

Melike666

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nein ich meinte e hoch 1 man shcreibt die 1 ja nicht hin sondern man shcreibt nur e dahin was halt e hoch 1 bedeutet

die stammfunktion davon ist so viel ich verstanden habe ex richitg??
sodass x bei der Ableitung wegfällt und e übrig bleibt und die ableitung von e wäre 1

ich glaube ich habe es jetz verstandne wenn das richtig ist wa sich oben geschrieben habe

17.05.2009, 18:17

Witzkuminator

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die ableitung von e ist 0, nicht 1

ich geh mal davon aus dass das ein tippfehler war Augenzwinkern

Augenzwinkern

sonst guck dir nochmal den graphen von f(x) = e oben an.

ansonsten stimmt das was du grad geschrieben hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2009, 18:29

Melike666

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stimmt xD
ya bei x fällt auch bei nächster ableitung weg
sorry war wirklich ein tippfehler

ich habe jetz eine andere Frage unzwar zu ei nem Ansatz

f(x)=x-ehoch x

ich soll ausrechnen,in welchen punkten der Graph der Funktion f waagerechte tangenten besitzt??

wie muss ich hier rechnen??

danke im voraus

17.05.2009, 18:42

Witzkuminator

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Zitat:

Original von Melike666
stimmt xD
ya bei x fällt auch bei nächster ableitung weg
sorry war wirklich ein tippfehler

ich habe jetz eine andere Frage unzwar zu ei nem Ansatz

f(x)=x-ehoch x

ich soll ausrechnen,in welchen punkten der Graph der Funktion f waagerechte tangenten besitzt??

wie muss ich hier rechnen??

danke im voraus

so sieht das ganze erstmal aus:

was heißt denn der graph hat im punkt P eine waagerechte tangente? das heißt dass die steigung der tangenten 0 ist, weil eine tangente (gerade) mit steigung 0 waagerecht ist. wenn die tangente aber die steigung 0 hat, muss auch die funktion an dieser stelle die steigung null haben.

der ansatz ist also:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

du suchst also alle x-werte, für die die ableitungsfunktion 0 wird. davon gibt es genau einen. wenn du den ausgerechnet hast musst du aber auch noch den zugehörigen y-wert bestimmen, weil nach einem Punkt $\begin{eqnarray*} P(x|f(x)) \end{eqnarray*}$ gefragt ist, du musst also den x-wert noch in f(x) einsetzen.

den ansatz weiterzuführen überlasse ich jetzt mal dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

sollte hoffentlich kein problem sein.

17.05.2009, 19:07

Melike666

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also ich habe
nach den beispielen meiner unterlagen gerechnet und bin auf den x-wert x=-1 gekommen.

natürlich bin ich wieder etwas verwirrt mit der ableitung von ehoch -x
habe ich raus -ehoch -x
weil die -1 vom exponenten runtergeholt werden würde
nur hier habe ich das nicht gemacht
ich hoffe da sist etwas verständlich denn im moment bin ich mit ableitung der e-funktion total durcheinander

danke im voraus

17.05.2009, 19:15

Witzkuminator

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die ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ stimmt, die ist $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

allerdings suchst du hier die ableitung von $\begin{eqnarray*} x - e^x \end{eqnarray*}$ , und die ist:

$\begin{eqnarray*} <br /> (x - e^x)' = 1 - e^x<br /> \end{eqnarray*}$ ,

x wird nach der potenzregel abgeleitet, das minus vor dem $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ kannst du als eine konstante betrachten, deswegen bleibt die vor der e-funktion stehen.

jetzt hast du also die ableitung und musst diese null setzen. dann erhältst du x = 0 (weil die e-funktion nur für x = 0 den wert 1 annimmt)

das eingesetzt in f(x) ergibt - 1

der punkt ist also P(0|-1)

hoffe das ist etwas klarer geworden smile

smile

17.05.2009, 19:21

Melike666

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also ok ich habe auch im enmdeffekt -1 rausbekommen abe rhabe so gerechnet:

ich habe diese nach der kettenregel gerechnet

habe dabei (x+1) e hoch -x
diese x einfach mit -1 ersezt und die null heraus bekommen??
kann ich nicht auch so rum rechnen
ode rmuss ich es so rechnen wie du es angegeben hast?

17.05.2009, 19:23

Witzkuminator

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ich kann grad nicht nachvollziehen was du da gemacht hast aber wenn das richtige ergebnis - P(0|-1) - rauskommt, ist es wahrscheinlich, dass deine rechnung auch stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2009, 23:59

WebFritzi

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@Melike: Du hast im völlig falschen Forum gepostet. Erstens ist das Schulmathematik, und zweitens nicht Algebra, sondern Analysis. Achte bitte demnächst darauf, in welches Unterforum du deine Frage stellst. Danke.

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