Gradient einer Matrix

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17.05.2009, 16:02	Dinosaur	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient einer Matrix Ich soll den Gradienten an einem bel. Punkt $\begin{eqnarray} <br /> x_0 \in \mathbb R^n<br /> \end{eqnarray}$ berechnen. Gegeben habe ich folgende Funktion: $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = x^T Ax + b^Tx<br /> \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist bisher: $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = x^T Ax + b^Tx = \sum_{i,j=1}^n~x_ix_j a_{ij} + \sum_{i,j=1}^n~b_ix_j<br /> \end{eqnarray}$ Wie leite ich denn jetzt geschickt ab? Habe es mal versucht als Matrix auszuschreiben und bin gescheitert, war irgendwann zu unübersichtlich. Bin über jeden Tipp dankbar
17.05.2009, 20:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Gradienten musst Du die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_k} \end{eqnarray}$ berechnen. Dafür hast Du mit $\begin{eqnarray} \sum_{i,j=1}^n~x_ix_j a_{ij} + \sum_{i=1}^n~b_ix_i<br /> \end{eqnarray}$ schon alles was Du brauchst. Allerdings hast Du beim zweiten Term einen Indexfehler
01.07.2016, 18:51	grad	Auf diesen Beitrag antworten »
huhu ich bin gerade an einer ähnlichen aufgabe dran und verstehe nicht so ganz wie man direkt auf die Summen kommt bzw die zweite, da hätte ich j als Index genommen? und wie leitet man dann a_ij ab? Dies hängt von beidem ab.
01.07.2016, 21:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob du den Index j oder i nennst, ist vollkommen belanglos. a_ij ist eine Konstante.
03.07.2016, 12:42	grad	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir dann auch hinterher klar geworden Trotzdem habe ich irgendwie Probleme. Hier mein Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x) = x^TAx = \sum_{i,j = 0} x_ja_{ji}x_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial x_i = x_ja_{ji}<br /> \partial x_j = a_{ji}x_i \\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f'(x) = x_ja_{ji} + a_{ji}x_i \end{eqnarray}$ Ich bezweifle irgendwie, dass das richtig ist. :/
03.07.2016, 15:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist aus dem Summenzeichen geworden?
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03.07.2016, 15:35	grad	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich vergessen hin zu schreiben ^^ $\begin{eqnarray} f'(x) = \sum_{i,j=0} x_ja_{ji} + \sum_{i,j=0} a_{ji}x_i = x^TA + Ax \end{eqnarray}$
03.07.2016, 15:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summationsindices sind Käse. Ich vermute mal, die gibt der Formelditor so vor Außerdem kann das Ergebnis so nicht stimmen, weil auf der rechten Seite der erste Summand ein Zeilenvektor ist, der zweite aber ein Spaltenvektor. In der Mitte der Gleichungskette steht zudem eine Zahl. Da passt mal nix zusammen
03.07.2016, 15:42	grad	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau deswegen frag ich ja nach, weil das ja totaler Mumpitz ist Ich weiß nur nicht wo ich hier bei mir auf Fehlersuche gehen soll also wo mein Denkfehler liegt. Kann schließlich nicht so schwer sein
03.07.2016, 15:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Mumpitz fängt schon hier an $\begin{eqnarray} \partial x_i = x_ja_{ji}<br /> \partial x_j = a_{ji}x_i \\ \end{eqnarray}$ Fang an mit $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_k}\sum_{i,j = 0} x_ja_{ji}x_i \end{eqnarray}$ nutze die Linearität der Ableitung, dann noch die Produktregel und schließlich die Beziehung $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x_k}x_r=\delta_{kr} \end{eqnarray}$ für beliebige k,r und dem bekannten Kroneckerdelta
03.07.2016, 16:24	grad	Auf diesen Beitrag antworten »
hahaha das war mein bescheidener Versuch die Produktregel anzuwenden Also das a_ij ist eine Konstante und für mich nicht "relevant". Dann bleiben x_i und x_j übrig. Hab mit x_ix_j die Produktregel x_i = u und x_j = v. u' =1 und v' = 0 Kroneckerdelta ist bei i = j 1 und i ungleich j dann 0
03.07.2016, 18:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
und was soll mir das jetzt sagen? Wo ist das k geblieben? Wo sind die Summen?

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