abelsche gruppe

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johanna.m Auf diesen Beitrag antworten »
abelsche gruppe
Hallo alle miteinander!

Ich habe eine Aufgabe bei der man beweisen soll,dass jede Gruppe mit 45 Elementen abelsch ist.Nach dem ersten Satz von Sylow weiß man ja schonmal,dass 45=3^2*5 gilt und nach dem dritten weiß man,dass für s|m uns s kongruent zu 1 modulo 3,s=1 einzige zahl ist für die das gilt.Doch in wie weit bringt mich das in Bezug auf die Kommutativität weiter?
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Besten Gruß
johanna
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sylowsätze ist immer eine gute Idee, wenn man Aussagen über den Untergruppenverband und den Isomorphietyp eine endlichen Gruppe machen möchte. Freude
Man muß die Sätze aber auch kennen und verstehen. Ganz sicher ist, daß der erste Sylowsatz NICHT aussagt, daß 45=9*5 ist. unglücklich
johanna.m Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort und sorry,hab mich verschrieben.Ich meinte natürlich,dass die Gruppe G eine Untergruppe der Ordnung 9 hat und eine der Ordnung 5.aber wie komm ich jetzt weiter.... verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

... fertig ... das ist die zyklische Gruppe der Ordnung 45 ... und die ist abelsch, weil jede zyklische Gruppe abelsch ist.
johanna.m Auf diesen Beitrag antworten »

...aber welcher satz besagt,dass G zyklisch ist?ich weiß ,dass eine Gruppe zyklisch ist wenn ihre ordnung prim ist,ist es hier ja aber nicht(nur die der untergruppen)...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo johanna,

Du musst nicht für jede Zwischenfrage einen neuen Thread eröffnen. Hier lag einfach ein Irrtum von Elvis vor, denn wie ich bereits im anderen Beitrag geschrieben habe, ist eine nichtzyklische Gruppe der Ordnung 45.

Um die Kommutativität zu zeigen, muss man noch etwas weiter gehen. Wir bezeichnen fortan die 3-Sylowgruppe mit und die 5-Sylowgruppe mit .
Mit den Sylowsätzen kann man nun z.B. zeigen, dass normal ist und damit operiert auf . Wenn man nun zeigen kann, dass nur trivial operiert, dann heißt das, dass und vertauschen und man ist fertig.

Gruß,
Reksilat.
 
 
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