Diagonalisierbarkeit über C prüfen

17.05.2009, 20:56	britta123	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit über C prüfen hallo, ein weiteres mal gibt es eine frage zur diagonalisierbarkeit also. folgende matrix ist gegeben: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 11 &12 \\ 21 &22 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Überprüfen soll man nun, ob diese Matrix über $\begin{eqnarray} ~\mathbb C \end{eqnarray}$ diagonalisierbar ist. Das charakteristische Polynom ist ja nun $\begin{eqnarray} f_{~\phi}(~\lambda)= ~\lambda ^{2} \end{eqnarray}$ , der doppelte Eigenwert 0. Der Eigenraum zu 0 ist $\begin{eqnarray} U_{~\phi}(0)=<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ . Dieser hat offensichtlich die Dimension 1 und somit kann der Vektorraum V nicht als Basis von Eigenvektoren dargestellt werden. Auch das Minimalpolynom ist ja $\begin{eqnarray} m_{~\phi}(~\lambda)=~\lambda ^{2} \end{eqnarray}$ und somit muss bei der Jordanschen NF der Jordankasten zu $\begin{eqnarray} ~\lambda =0 \end{eqnarray}$ 2x2 sein. Wenn man sich in $\begin{eqnarray} ~\mathbb C \end{eqnarray}$ befindet, ändert das an der Rechnung doch nichts,oder? Gibt es noch einen anderen Weg? Vielen Dank schonmal!
17.05.2009, 21:45	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein characteristisches Polynom ist falsch und damit die ganze Rechnung. Das richtige Polynom ist $\begin{eqnarray} x^2 - 33x - 10 \end{eqnarray}$ Probiers damit nochmal. Ansonsten hättest Du Dir auch denken können dass Null kein Eigenwert ist, da die Matrix invertierbar ist.
17.05.2009, 22:10	britta123	Auf diesen Beitrag antworten »
erm. ich hab die falsche Matrix eingegeben. entschuldigung $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
18.05.2009, 00:18	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist die Matrix nicht diagonalisierbar, und deine Begründung ist richtig. EDIT: Im übrigen ist die Matrix bereits in Jordan-Normalform-Gestalt.

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