1,08^n - 0,08*n > 2

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Nadine1987 Auf diesen Beitrag antworten »
1,08^n - 0,08*n > 2
Hallo,

ich habe folgende Gleichung und suche n

1,08^n - 0,08*n > 2

durch Näherung bin ich auf n = 16 gekommen, meine Frage ist, wie löse ich die Gleichung bzw. kann ich sie überhaupt lösen?

Wenn ich den Logarithmus anwende komme ich auf:

n = log (2 + 0,08*n) / log 1,08

und weiter weiß ich nicht.

Wäre für jeden Hinweis dankbar. Danke!
BErnhArd_P Auf diesen Beitrag antworten »

du könntest durch probieren das kleinste n bestimmen, ab dem die ungleichung gilt. Das hast du schon getan, n=16 (ich habs nicht überprüft). Nun könntest du mit vollständiger Induktion zeigen, dass die Ungleichung für jedes n>16 gilt. Analytisch ist die Gleichung nach meinem Wissensstand nicht zu lösen, da du das n im logarithmus bzw. in der Hochzahl nie los wirst. Also: Vollständige Induktion, ist dir diese Beweismethode bekannt?

MfG
Nadine1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank. Ja vollständige Induktion habe ich das letzte Mal vor 10 Jahren gehört und gerechnet. Ich glaube dann doch, dass wir das durch Nähern lösen sollen.

DAnke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um die Näherungslösung an sich, sondern um den Nachweis, dass die Ungleichung dann auch für alle noch größeren gilt!


Diesen Nachweis kann man alternativ zur Induktion auch über die Funktion



führen: Für die gilt

,

mit der man den Tiefpunkt



von bestimmen kann. Damit ist für streng monoton wachsend, und für übrigens auch streng monoton fallend (aber der Bereich interessiert vermutlich nicht).
Nadine1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke. Aber es geht doch um die Näherungslösung. Gegeben ist ein Startkapital von 1 Mio. € und ein Zinsatz von 8 %. Die Frage lautet, wie lange man das Kapital anlegen muss, damit alleine die Zinseszinsen mindestens 1 Mio. € betragen.

Danke für die Erläuterungen.

Edit: Was ich meine ist, dass kein Nachweis lt. Aufgabenstellung erforderlich ist.
Nadine1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur des Intresses wegen, wie würde ich das denn mit vollständiger Induktion beweisen?
 
 
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