Numerische Verfahren vs. Explizite Lösung

17.05.2009, 23:01

artem

Numerische Verfahren vs. Explizite Lösung

ich untersuche versch. numerische Verfahren zur Lösung von DLGs 2.Ordnung. nun bin ich jetzt fast fertig und möchte die Lösungen mit numerischen Verfahren iwie mit exakten Lösungen vergleichen.
Ich habe eine Gleichung für gedämpfte mechanische schwingung. ich hab die mit euler-cauchy und mit Runge-Kutta gelöst. sieht gut aus.
welche exakte lösungen(ohne komplexe zahlen sondern mit sin und cos) gibt es für folgende Gleichung:

ich hab folgendes gefunden: (ist zwar für RLC-schwingkreis ist aber analog zu meinem Problem)

http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph12/grundwissen/04schw_gleich/image1942.gif

nur sind die abweichungen zu groß von RKN4, obwohl das verfahren sehr genau ist.

also welche exakte lösungen gibt es sonst???

17.05.2009, 23:20

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Die allgemeine Lösung enthält auch noch einen Sinusanteil (wenn man so will, entspricht das einerPhasenverschiebung):

$\begin{eqnarray*} y(t) = e^{-\delta t}\cdot\left( C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t) \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

wobei dies nur für "kleine" Dämpfungen $\begin{eqnarray*} k^2 < 4Dm \end{eqnarray*}$ zutrifft, wobei dann

$\begin{eqnarray*} \delta = \frac{k}{2m} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \omega = \frac{\sqrt{4Dm-k^2}}{2m} \end{eqnarray*}$

ist.

$\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ lassen sich aus den Anfangswerten $\begin{eqnarray*} y_0=y(0),v_0 = \dot{y}(0) \end{eqnarray*}$ durch Einsetzen bestimmen:

$\begin{eqnarray*} C_1 = y_0 , \qquad C_2 = \frac{v_0 + \delta y_0}{\omega} \end{eqnarray*}$ .

22.05.2009, 13:26

art_ger

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Vielen Dank!! die formel ist viel viel präziser. also besser)))

22.05.2009, 14:28

artem

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wie kommt man auf diese Formel??? ist die Herleitung sehr schwer??

22.05.2009, 17:13

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Zitat:

Original von art_ger
die formel ist viel viel präziser

Steigerungen sind völlig überflüssig, sie ist einfach nur präzis für die gegebene DGL.

Was mehr oder weniger präzis ist, sind die numerischen Näherungen über Runge-Kutta, etc. Augenzwinkern

Die Herleitung folgt der üblichen Theorie linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, ohne jede Besonderheit.

24.05.2009, 16:56

art_ger

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mit der theorie kenne ich mich nicht so gut aus) dafür aber mit RK_verfahren)) reicht wohl. vielen dank

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