Invertierbarkeit einer Matrix mit einer Unbekannten

18.05.2009, 17:00

ha-ti

Invertierbarkeit einer Matrix mit einer Unbekannten

hallo ihr lieben,
ich brauche wieder eure hilfe Willkommen

Gegeben ist die Matrix

$\begin{eqnarray*} A: = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 1 & 8 & \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R ^{3,3} \end{eqnarray*}$

Ich soll bestimmen, für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Matrix A invertierbar ist.
Ich weiß, dass ich nach Gauß die Inverse über die Normierte Zeilenstufenform bestimmen kann, aber ich weiß nicht wie ich mit einer Unbekannten die Matrix invertieren kann.

18.05.2009, 17:32

123Mathe

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Hallo!

Genauso wie du es auch immer machst, betrachte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als eine reelle feste Zahl.

Gruß smile

18.05.2009, 18:06

ha-ti

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Hi!

Danke für die schnelle Antwort.

Ich komme auf dieses Zwischenergebnis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} a \\ 0 & 0 & \frac{-11}{2} a + 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & \frac{-3}{2} & \frac{-1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Doch für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ müsste ich ja 1 herausbekommen, um die Inverse berechnen zu können.

18.05.2009, 18:09

123Mathe

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Ich rechne dies ehm nach... Augenzwinkern

18.05.2009, 18:25

123Mathe

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Hab hier ein Teil der Rechenschritte als Grafik.

Man sieht, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \neq -7 \end{eqnarray*}$ sein muss. Dann kannst du normal weiterrechnen.

18.05.2009, 18:36

ha-ti

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Danke! Ich rechne das mal aus und poste das Ergebnis rein.

18.05.2009, 18:42

Bjoern1982

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Wenn ihr schon den Begriff der Determinante hattet ist das ganze nur noch ein Einzeiler.

18.05.2009, 19:05

ha-ti

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Mein Ergebnis lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2-\frac{6}{a+7} & 1-\frac{9}{a+7} & \frac{-3}{a+7} \\ \frac{-1}{2}+ \frac{2}{a+7} & \frac{1}{2}- \frac{3}{a+7} & \frac{1}{a+7} \\ \frac{2}{a+7} & \frac{-3}{a+7} & \frac{1}{a+7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Kommst du auch auf`s selbe Ergebnis?

18.05.2009, 19:26

ha-ti

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Kann jemand mein Ergebnis bestätigen?
Wie sollte jetzt meine Antwort lauten bzgl. der Fragestellung, für welche
$\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Matrix invertierbar?
________________________________

ich bitte um eure hilfe, danke

19.05.2009, 08:56

123Mathe

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Guten Morgen,

werd es nachher kontrollieren. Hab gerade keine Zeit.

Gruß smile

19.05.2009, 10:19

Mazze

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Zitat:

Wenn ihr schon den Begriff der Determinante hattet ist das ganze nur noch ein Einzeiler.

Um mal zu demonstrieren wie viel einfacher dieses ist. Die Determinante der Matirx A ist

$\begin{eqnarray*} \det(A) = 4\alpha - 6 - 8 + 4 - 2\alpha + 24 = 2\alpha + 14 \end{eqnarray*}$

Nun , eine Matrix ist invertierbar wenn die Determinante der Matrix ungleich null ist. Oder mit anderen Worten, die Nullstellen obiger Determinante geben an für welche Alpha die Matrix nicht invertierbar ist.

$\begin{eqnarray*} 2\alpha + 14 = 0 \Rightarrow \alpha = -7 \end{eqnarray*}$

Euer bestimmtes Alpha ist also richtig, aber ich kann mir irgendwie nicht vorstellen das man bei euch die inverse Matrix vor der Determinante eingeführt hat. (was prinzipiell aber geht, da nur eine algebraische Bedingung erfüllt sein muss)

Zitat:

Kann jemand mein Ergebnis bestätigen?

Das kannst Du selber machen in dem Du die ursprüngliche Matrix mit der Inversen multiplizierst. Wenn Du dann noch richtig multiplizierst muss die Einheitsmatrix herauskommen.

19.05.2009, 11:14

123Mathe

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So, ich hab folgende Inverse herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix} 2-\frac{2}{\alpha +7} & \frac{3}{\alpha +7}-1 & -\frac{1}{\alpha +7} \\ \frac{2}{\alpha +7}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}-\frac{3}{\alpha +7} & \frac{1}{\alpha +7} \\ \frac{2}{\alpha +7} & -\frac{3}{\alpha +7} & \frac{1}{\alpha +7} \\ \end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$

(Du hast dich bei der oberen Zeile verrechnet.)

Man sieht, dass durch $\begin{eqnarray*} \alpha + 7 \end{eqnarray*}$ geteilt wird, d.h. dieser Ausdruck darf net $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ werden. D.h. $\begin{eqnarray*} \alpha \neq -7 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2009, 11:27

123Mathe

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@ Mazze: Bei uns wurde in Schule und sogar auch in der Hochschule die Inverse vor der Determinante eingeführt. Augenzwinkern

19.05.2009, 21:56

ha-ti

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Danke an euch alle. Ihr wart sehr hilfreich. Ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe auch behilflich sein. Diese ist die Fortsetzung von der ersten Aufgabe in diesem Thema.

Ich soll $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so bestimmen, sodass das lineare Gleichungssystem Ax $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
unendlich viele Lösungen hat. Außerdem soll ich diese Lösungen bestimmen und in Form von

L $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ {spezielle Lösung + Kern(A)} angeben.

Ich habe die Matrix $\begin{eqnarray*} A: = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 1 & 8 & \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R ^{3,3} \end{eqnarray*}$ mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt.

Stimmt das so?

Danke für eure Antworten.

25.05.2009, 00:25

cy-ba

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Bist Du da schon weiter?

Ich hab da auch ne erweiterte draus gemacht und dann versucht die in NZSF zu überführen. Nur komm ich dann nicht weiter....

siehe: meins

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