Gesucht ist inverses Element in gleicher Form

18.05.2009, 16:37	xindon	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht ist inverses Element in gleicher Form Hallo! Ich sitze jetzt schon seit Längerem an einer Aufgabe, bei der ich schauen soll, ob die folgende Menge mit der Addition und Multiplikation wie in den reellen Zahlen einen Körper bildet: $\begin{eqnarray} M := \{a + b\cdot\sqrt[3]{2} + c\cdot\sqrt[3]{4} \| a,b,c \in \mathbb Q \} \end{eqnarray}$ Ich bin eigentlich schon so gut wie fertig, nur muss ich noch das inverse Element bezüglich der Multiplikation finden (zu m aus M muss es ja 1/m sein) bzw. in der gegebenen Form darstellen können: $\begin{eqnarray} \frac{1}{m} = \frac{1}{a + b\cdot\sqrt[3]{2} + c\cdot\sqrt[3]{4}} = ??? = x + y\cdot\sqrt[3]{2} + z\cdot\sqrt[3]{4} \| x,y,z \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ Inzwischen vermute ich schon fast, dass es nicht möglich ist, aber wahrscheinlich sind mir einfach nur die Ideen für Umformungen ausgegangen. Hat da vielleicht jemand eine gute Idee? Vielen Dank schonmal! Gruß, Tim
18.05.2009, 17:12	kaguya_hime	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gesucht ist inverses Element in gleicher Form Hallo Xindon, hier ein Hinweis: Du kannst ja den Körper als dreidimensionalen Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ auffassen mit der Basis $\begin{eqnarray} (1,\sqrt[3]2,\sqrt[3] 4) \end{eqnarray}$ . Dann drücke Multiplikation im Körper durch die Multiplikation mit einer Matrix aus....
18.05.2009, 20:54	xindon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gesucht ist inverses Element in gleicher Form Hi! Vielen Dank schonmal für deine Antwort. Nur leider kann ich mit deinem Hinweis noch nicht viel anfangen, da wir solche Vektorräume und Matrizenmultiplikationen noch nicht behandelt haben. Kannst du mir das Verfahren vielleicht ein wenig genauer skizzieren? Vielen Dank jedenfalls! Gruß, Tim
18.05.2009, 21:33	kaguya_hime	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gesucht ist inverses Element in gleicher Form Ja klar, es geht auch elementarer. Bringe die Gleichung $\begin{eqnarray} <br /> (x+2^{1/3}y+4^{1/3}z)(a+2^{1/3}b+4^{1/3}c)=1<br /> \end{eqnarray}$ durch ausmultiplizieren in die Form $\begin{eqnarray} <br /> 1\cdot (\cdots)+ \sqrt[3] 2 (\cdots)+ \sqrt[3] 4 (\cdots) = 0<br /> \end{eqnarray}$ Die Ausdrücke in den Klammern müssen alle verschwinden. So erhältst Du drei Gleichungen in den drei Unbekannten x,y und z.
19.05.2009, 07:43	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
hinweis: schreib $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^2 \end{eqnarray}$ (in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ betrachtet) und damit sollt es dann sofort klar sein

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