Formel zur Berechnung der Länge einer Funktionskurve in einem bestimmten Abschnitt

18.05.2009, 20:15	PMS	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel zur Berechnung der Länge einer Funktionskurve in einem bestimmten Abschnitt Hallo, ich hab gerade aus mehr oder weniger Langeweile (also keine Notwendigkeit) eine dem Thementitel entsprechende Formel aufgestellt, die ich mal $\begin{eqnarray} s_{f(x)}\left(a;b\right) \end{eqnarray}$ nenne. Sie sollte die exakte Länge des Kurvenverlaufes einer Funktion f(x) zwischen den Stellen a und b ergeben. Sie lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} s_{f(x)}\left(a;b\right)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=a}^{bn}~\sqrt{\frac{1}{n^{2}}+{\left(f\left(ni\right)-f\left(n\left(i+1\right)\right)\right)^2}} \end{eqnarray}$ Nun ist mein erstes Anliegen; ist das nachvollziehbar bzw. findet eventuell jemand unstimmigkeiten? Und das zweite wäre das Problem, dass ich momentan nicht gerade gut mit komplexeren Summen - wie in diesem Fall, oder generell mit Summierten Funktionswerten - umgehen kann. Es würde mich aber schon reizen, die ganze Geschichte noch weiter zu vereinfachen, bevor man eine konkrete Funktion für f(x) einsetzt. Noch besser auch gleich den Limes "verwursten". Kann mir vielleicht jemand weiter helfen?
19.05.2009, 08:43	outSchool	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formel zur Berechnung der Länge einer Funktionskurve in einem bestimmten Abschnitt Hallo, zur Berechnung der Länge des Kurvenverlaufes einer Funktion f(x) (Bogenlänge) reicht es nicht aus nur die y-Auslenkung also f(x) zu betrachten, vielmehr fehlt der Bezug zur x-Auslenkung. Das einfachste Beispiel ist die Funktion f(x) = cx. Die Länge des Kurvenverlaufes ist dann $\begin{eqnarray} L_{a,b} = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} \end{eqnarray}$ Für eine beliebige Funktion f(x) siehe Bogenlänge.
19.05.2009, 10:08	PMS	Auf diesen Beitrag antworten »
Die x-Auslenung habe ich mit dem Term $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ einbezogen. Die Ganze Wurzel ist ein Teilabschnitt über die Länge $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ (in x-Richtung). Wenn dann nun n gegen unendlich geht, werden diese Abschnitte immer kleiner und umgekehrt Proportional mehr, dass sich der ganze Ramsch dann immer weiter annähert. Im Übrigen hab ich vergessen zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray} n;i\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a;b\in\mathbb R \end{eqnarray}$ Genauigkeit muss schon sein
19.05.2009, 10:16	PMS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, im Prinzip is das Thema hier für'n Mastdarm, da - wie ich auf Grund deines Links gesehen hab - es natürlich (wie sollte es auch anders sein) bereits ein einfacheres Verfahren dazu gibt. Tja, hätt' ich mal vorher nach so etwas gesucht, dann hätte ich mich nich die viertel Stunde damit beschäftigen müssen ohne auf ein (mich) zufriedenstellendes Ergebnis zu kommen.

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