Erwartungswert, erwarteter Gewinn und Tschebyscheff

18.05.2009, 21:04

Eli83

Erwartungswert, erwarteter Gewinn und Tschebyscheff

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe 12 Bei einem Schulfest möchte die Klasse 7c ihr Budget aufbessern.
Man entschließt sich zu folgender Lotterie: Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Bei einem Pasch erhält er als Auszahlung die Gesamtaugenzahl (also Zahlen zwischen 2 und 12) in Euro, ansonsten nichts.
a) Wie hoch muss der Spieleinsatz gewählt werden, damit das Spiel fair ist, d.h. dass die Klasse auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht?
b) Die Klasse will aber natürlich Gewinn machen. Es wird von 200 Spielen ausgegangen. Die Klasse will einen erwarteten Gewinn G von 100 Euro erzielen. Wie hoch muss dazu der Spieleinsatz sein?
c) Gehen Sie von diesem Spieleinsatz aus und finden Sie mit der Tschebyscheff-Ungleichung eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Klasse dabei keinen Verlust macht.

Ich habe da eigentlich alles, bin nur wegen dem Ergebnis bei c) am zweifeln, ob das alles stimmt...

zu a): (S = Spieleinsatz)
$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{S-2}{36} + \frac{S-4}{36}+ \frac{S-6}{36} + \frac{S-8}{36}+ \frac{S-10}{36}+ \frac{S-12}{36} + S\cdot \frac{30}{36} = \frac{36S-42}{36} = S - \frac{7}{6} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} E(X) = 0 \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} S - \frac{7}{6} = 0 \Rightarrow S = \frac{7}{6} \end{eqnarray*}$

zu b): (jetzt kommts, ich weiß nicht ob's richtig ist)
$\begin{eqnarray*} E(\sum_{k=1}^n~X_n) = \sum_{k=1}^n~E(X_n) \end{eqnarray*}$
(Linearität des Erwartungswerts)
mit n=200 gilt:
$\begin{eqnarray*} E(\sum_{k=1}^{200}~X_n) = 100 \Rightarrow \sum_{k=1}^{200}~E(X_n)= 100 \Rightarrow E(X_n) = \frac{100}{200} = 0,5 \end{eqnarray*}$
,da die Erwartungswerte gleich sind.
Nun folgt: (aus a))
$\begin{eqnarray*} E(X) = 0,5 \Rightarrow S - \frac{7}{6} = 0,5 \Rightarrow S = 0,5 + \frac{7}{6} \Rightarrow S = \frac{3}{6} + \frac{7}{6} \Rightarrow S = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

zu c): (Tschebyscheff)
$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)|\geq \epsilon)\leq \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}} \Rightarrow P(|X-E(X)|\leq \epsilon)\geq 1 - \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}} \end{eqnarray*}$
mit Var(X) = 8,75 und E(X) = 0,5 gilt:
$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)|\leq 0,5)\geq 1 - \frac{8,75}{0,25} \Rightarrow P(|X-E(X)|\leq 0,5)\geq -34 \end{eqnarray*}$
und da kann irgendwas nicht stimmen..
..Hilfe!!!!

19.05.2009, 18:24

Zahlenschubser

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RE: Erwartungswert, erwarteter Gewinn und Tschebyscheff
Hallo!

Ohne es im Detail nachgerechnet zu haben, scheinen a) und b) richtig zu sein. In c) hast du für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ den Wert von E(X) eingesetzt. Das ist natürlich falsch. Vielmehr ist in gewisser Art und Weise $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gesucht. D. h. die Identifikation von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ läuft über $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Außerdem kenne ich Tschebyscheff als $\begin{eqnarray*} \lim n \to \infty \end{eqnarray*}$ . Dies hat eine entscheidende Bedeutung für die Varianz! Lasse mich da aber als Nicht-Mathematiker gerne eines Besseren belernen.

19.05.2009, 18:49

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@Eli83

Wenn man alles und jedes mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bezeichnet, und das mehrfach in derselben Aufgabe, dann passieren solche Fehler:

In c) scheinst du mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ jedenfalls den Mittelwert der 200 Einzelgewinne zu meinen:

$\begin{eqnarray*} X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

Dann ist zwar $\begin{eqnarray*} E(X)=E(X_1) = 0.5 \end{eqnarray*}$ , aber es gilt nicht $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) \stackrel{?}{=} \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = \frac{1}{n} \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ . Das ist kein einfacher Schreibfehler, sondern geradezu die Todsünde aller Statistikfehler: Den Einfluss einer großen Stichprobengröße auf die Genauigkeit des Ergebnisses schlicht zu ignorieren. unglücklich

Richtig ist demnach

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X) = \frac{8.75}{200} = 0.04375 \end{eqnarray*}$ ,

und dann wird auch mit Tschebyscheff ein Schuh draus.

19.05.2009, 19:28

Eli83

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Ok, dann hab ich jetzt:
zu c):
$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)|\geq \epsilon)\leq \frac{Var(X_n)}{n\cdot\epsilon^{2}} \Rightarrow P(|X-E(X)|\leq \epsilon)\geq 1 - \frac{Var(X_n)}{n\cdot \epsilon^{2}} \end{eqnarray*}$
mit Var(X_n) = 8,75 und n=200 gilt:
$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)|\leq 0,5)\geq 1 - \frac{8,75}{200\cdot 0,25} \Rightarrow P(|X-E(X)|\leq 0,5)\geq 0,825 \end{eqnarray*}$
Also 82,5 Prozent!
Danke für die Belehrung!
Ich hab da oben jetzt $\begin{eqnarray*} X\in[0,1] \end{eqnarray*}$ gewählt, weil X für Tschebyscheff symmetrisch um E(X) liegen muß. (zumindest habe ich das so verstanden)
Ist das dann richtig?

19.05.2009, 19:50

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Zitat:

Original von Eli83
Ich hab da oben jetzt $\begin{eqnarray*} X\in[0,1] \end{eqnarray*}$ gewählt, weil X für Tschebyscheff symmetrisch um E(X) liegen muß.

Die Logik, und der Sinn überhaupt dieses Satzes bleibt mir völlig verschlossen. unglücklich

Die einzige Voraussetzung für die Anwendung von Tschebyscheff ist die Existenz der Varianz (d.h. quadratische Integrierbarkeit).

19.05.2009, 20:10

Eli83

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Vergiss einfach den Satz, da hab ich ganz schönen Blödsinn gemacht. Aber der Rest ist so jetz in Ordnung?
Vielen Dank für die Hilfe

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