Treppenfunktionen bilden einen Vektorraum?

18.05.2009, 23:26

Sandara

Treppenfunktionen bilden einen Vektorraum?

Guten Abend Wink

doch noch eine Frage, weil ich mich da im Kreis dreh und nicht genau weiß, in welche Richtung ich gehen soll, bzw. was genau ich zeigen soll.

Zeige, dass die Treppenfunktionen auf dem Intervall [a,b] einen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum bilden.

Da die VR etwas länger her sind, habe ich mir mal die Definition für die reellen VR herausgesucht:

ein reeller VR ist eine Menge V mit zwei Operationen $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} V \times V \to V: (v,w) \to v + w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \times V \to V: ( \lambda, v) \to \lambda \cdot v \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 0 \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 + v = v \end{eqnarray*}$
(den Rest lasse ich mal aus)

Meine Überlegungen:

Sei $\begin{eqnarray*} T[a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ die Menge aller Treppenfunktionen.
Wie ich ja weiß, ist eine beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f : [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ dann eine Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ , wenn eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z = {x_0, x_1, ...., x_n} \end{eqnarray*}$ von [a,b] existiert mit $\begin{eqnarray*} a=x_0<x_1<.....<x_n=b \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} T[a,b] \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist, dann muss gelten:

1.) $\begin{eqnarray*} 0 \in T[a,b] \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} f,g \in T[a,b] \to f + g \in T[a,b] \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} f \in T[a,b], \lambda \in \mathbb R \to \lambda \cdot f \in T[a,b] \end{eqnarray*}$

Ich muss die Abgeschlossenheit zeigen (-> und genau da bin ich mir nicht so sicher), also wenn ich zwei Treppenfunktionen f und g addiere, dann bin ich wieder in der Menge der Treppenfktn., genauso das Skalarprodukt.

Nur wie sieht´s mit neutralem Element aus?

Meine Ansätze sind:

1.) Die Null ist Element des Intervalls [a,b], da $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und daher a oder b den Wert 0 annehmen kann.
(Das reicht bestimmt nicht?)

Laut einem Analysis-Buch:

2.) Für f gelte : $\begin{eqnarray*} Z_f : a = x_0< x_1< ....<x_n= b \end{eqnarray*}$
für g gelte : $\begin{eqnarray*} Z_g : a=x'_0< x'_1<.....<x'_n=b \end{eqnarray*}$
Dann gibt es eine Unterteilung von [a,b], die alle Teilpunkte von $\begin{eqnarray*} Z_f, Z_g \end{eqnarray*}$ enthält:
$\begin{eqnarray*} Z_f \cup Z_g : a= t_0<t_1<.....<t_k=b \end{eqnarray*}$ .
So gibt es: $\begin{eqnarray*} \left\{t_0,t_1,....,t_k \right\} = \left\{x_0,x_1,....x_n \right\} \cup \left\{x'_0, x'_1,.....,x'_n \right\} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ auf jedem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} ]x_{k-1}, x_k[ \end{eqnarray*}$ konstant ist, sind f und g konstant auf $\begin{eqnarray*} ]t_{j-1},t_j[ \end{eqnarray*}$ und daher folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} f+g \in T[a,b] \end{eqnarray*}$

3.) Das ist irgendwie etwas .... mh ..... mit was packe ich das ein? Kann ich da sagen, da ja $\begin{eqnarray*} f : [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet und der Skalar ebenfalls aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, gilt die Abgeschlossenheit bzgl. der Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als VR und dass man damit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht verlässt?

Zu 2) nochmal: Kann man das so zeigen? Oder gibt es da einfachere Methoden? Ich weiß nciht genau, ob die Bedingungen oben zu zeigen, reichen oder ob da was fehlt? Ich soll eigentlich auch die punktweise Multiplikation zweier Treppenfkt. zeigen, aber auch da weiß ich nicht genau, wie. Es heißt : $\begin{eqnarray*} fg(x) = f(x)g(x) \end{eqnarray*}$ auf [a,b] und die Multipl. ist wieder eine Treppenfkt. bzgl. der Zerlegung (s.o.) und so langsam geht die lUft beim Dauerbeweisen aus unglücklich

Viele GRüße
Sandra

19.05.2009, 10:53

Felix

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Es reicht wenn du zeigst, dass die Differenz zweier Treppenfunktionen und das skalare Vielfache wieder in T[a,b] liegt (Unterraumkriterium).

19.05.2009, 13:23

WebFritzi

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Dann muss man aber auch noch sagen, was denn der Vektorraum ist, in dem der Unterraum liegt.

19.05.2009, 19:37

Elvis

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Bei Vektorräumen geht es immer um Addition von Vektoren und um skalare Multiplikation.
Die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , das neutrale Element muß eine Treppenfunktion sein, nicht die reelle Zahl 0. Damit $\begin{eqnarray*} f+0=f (\forall f):\Leftrightarrow f(x)+0(x)=f(x) (\forall x\in [a,b])( \forall f) \end{eqnarray*}$ gilt, gibt es nur eine einzige (simple) Möglichkeit für das neutrale Element $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .
Mit $\begin{eqnarray*} f\cdot g=f(x)\cdot g(x) \end{eqnarray*}$ brauchst du dich bei diesem Beweis nicht zu befassen. Abgeschlossenheit bezüglich skalarer Multplikation heißt $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot f \in T[a,b] (\forall \lambda \in \mathbb R)(\forall f \in T[a,b]) \end{eqnarray*}$ - auch das ist fast trivial.
Für die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition hast du ja schon den entscheidenden Hinweis (Superposition der Zerlegungen).
Frisch ans Werk Freude

, aufschreiben, fertig Augenzwinkern

19.05.2009, 21:06

Felix

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Zitat:

Original von WebFritzi
Dann muss man aber auch noch sagen, was denn der Vektorraum ist, in dem der Unterraum liegt.

Ich bin davon ausgegangen, dass Sandara weiß, dass die Menge der auf einem Intervall [a,b] definierten Funktionen ein Vektorraum (und logischerweise ein Überraum von T[a,b]) ist. Aber du hast natürlich recht.

19.05.2009, 21:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix

Zitat:

Original von WebFritzi
Dann muss man aber auch noch sagen, was denn der Vektorraum ist, in dem der Unterraum liegt.

Ich bin davon ausgegangen, dass Sandara weiß, dass [...]

Davon wäre ich angesichts ihres Beitrages nicht ausgegangen. Augenzwinkern

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