Problem beim Lösen eines linearen Gleichungssystem mit Parameter

19.05.2009, 08:29

Zonk

Problem beim Lösen eines linearen Gleichungssystem mit Parameter

Hallo und guten Morgen,

ich probier mich seit einiger Zeit mit der Lösung folgender Aufgabe. Ich habe auch schon hier und an anderen Stellen im Netz recherchiert und bin zu der Erkenntnis gelangt den Gauss-Algorithmus anzuwenden.

Ziel ist es den Parameter T so zu bestimmen, dass
a) keine Lösung
b)eine Lösung
c)mehrere Lösungen entstehen.

Hier ist das Lineare Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 & - 2x_2 & - 2x_3 = 0 \\ x_1 & + x_2 & + T x_3 = 2 \\ 2x_1 & + (T-1)x_2 &- 2x_3 = 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Mittels Gauss-Verfahren bin ich auf folgendes gekommen:

1. ich habe die 2. Zeile von der 1. Zeile abgezogen
2. ich habe die 2. Zeile 2 mal von der 3. abgezogen
3. ich habe Zeile 1 und 2 vertauscht
4. ich habe die 2. Zeile von der 3. Zeile abgezogen
5. ich habe die 2. und 3. vertauscht

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & T = 2 \\ 0 & T & 0 = 4 \\ 0 & -3 & (T-2) = -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Darf ich hier jetzt die 2. und 3. Spalte vertauschen? Muss ich worauf achten???

Ich habe das jedenfalls so gemacht und erhielt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & T & 1 = 2 \\ 0 & 0 & T = 4 \\ 0 & (T-2) & -3 = -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Vertauschung der 2. und 3. Zeile habe ich das Gleichungssystem in die Treppenform gebracht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & T & 1 = 2 \\ 0 & (T-2) & -3 = -2 \\ 0 & 0 & T = 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich daraus jetzt sagen, dass T=4 ist?
Dann hätte das Gleichungssystem genau eine Lösung.
Wie kann ich a) und c) bestimmen?

Ich finde das sehr kompliziert auf diese Art und Weise, gibt es eventuell einen anderen Ansatz um einfacher ans Ziel zu gelangen???

Danke für eventuelle Hilfe smile

19.05.2009, 08:57

Felix

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & T = 2 \\ 0 & T & 0 = 4 \\ 0 & -3 & (T-2) = -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ Darf ich hier jetzt die 2. und 3. Spalte vertauschen? Muss ich worauf achten???

Darfst du die Unbekannten werden allerdings "umnumeriert" .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & T & 1 = 2 \\ 0 & (T-2) & -3 = -2 \\ 0 & 0 & T = 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ Kann ich daraus jetzt sagen, dass T=4 ist?

Nein $\begin{eqnarray*} T \cdot x_2 = 4 \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 09:12

Zonk

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Danke, das mit dem umnummerieren habe ich verstanden.

Wenn ich mich jetzt auf Folgendes beziehe:

$\begin{eqnarray*} T \cdot x_2 = 4 \end{eqnarray*}$
Kann ich hier eine Fallunterscheidung machen, indem ich sage, dass T nicht Null werden darf, da sonst die Linke Seite Null wird und das ungleich 4 ist?

dann kann ich nach T auflösen und erhalte:

$\begin{eqnarray*} T = \frac{4}{ x_2} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter?
Forme ich die 2 Gleichungen drüber jetz auch nach T auf?
Oder muss ich das T jetzt in den oberen Gleichungen einsetzen?

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