Schubfachprinzip: Dringend Hilfe gesucht!

16.09.2006, 11:42

lars.martens

Schubfachprinzip: Dringend Hilfe gesucht!

Hallo! Brauche unbedingt Hilfe bei folgender Aufgabe! Wie soll ich da überhaupt rangehen?

Aufgabe:

Ein Buch mit 400 Seiten enthält 60 Druckfehler.

a) Auf wie vielen Seiten kann man 0;1;2...;8 Druckfehler erwarten?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zufall eine Seite aufzuschlagen, die mindestens 2 Druckfehler enthält?

Gruß, Lars

16.09.2006, 11:51

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, wie du auf "Schubfachprinzip" kommst, damit hat das hier m.E. nichts zu tun. Jedenfalls hatte ein anderer hier schon mal dieselbe Aufgbae, sogar mit denselben Zahlen:

Druckfehler

16.09.2006, 11:54

xrt-Physik

Auf diesen Beitrag antworten »

Die gleichverteilte Wahrscheinlichkeit ist:
1: (6 2/3).

Dann gilt für n Druckfehler:

$\begin{eqnarray*} E = \sum_{i=1}^n~i\cdot 1: (6 \frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

Und wenn man zufällig eine Seite aufschlägt, die 2Druckfehler hat, gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X = k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

mit
p = 1: (6 2/3)
n = 1
k = 2

16.09.2006, 12:05

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich gar nichts mehr! Klar gehört das zum Schubfachprinzip. Steht im Buch unter diesen Thema.

Ich hab mir gedacht, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit (Druckfehler) für eine Seite 60/400=6/40=3/20 beträgt. Damit hat der Misserfolg eine Wahrscheinlichkeit von 34/40=17/20. (1 - p = q)

Die Formel für den Erwartungswert lautet doch E(x) = n * p

"Auf wie vielen Seiten kann man 0 Druckfehler erwarten?"? E(x) ist doch also = 0, oder?

0 = n * p

Wie mache ich nun weiter? Hilfe.

16.09.2006, 12:09

Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeinhin versteht man unter dem Schubfachprinzip das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Schubfachprinzip

Und damit hat deine Problemstellung primär nichts zu tun, zumindest nicht die bisher von dir angebrachten Teilaufgaben dazu.

Aber zurück zum eigentlichen Problem: Hast du den von mir verlinkten Thread durchgelesen? Die Idee von gast4711 mit der Binomialverteilung ist vollkommen richtig, auch deren Parameter - im Gegensatz zu denen im Beitrag von xrt-Physik, die sind falsch.

16.09.2006, 12:15

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, was n;p und q sind? Irgendwie muss ich doch was in die Erwartungswertformel einsetzen?! Haben wir auf jeden Fall in der Schule so gemacht Und dann muss man nachher irgendwas mit dem Logarithmus machen .. am Ende hatte man dann ein n raus und das ist doch hier auch gesucht, oder nicht? Gesucht: n, die Anzahl der Seiten mit 0;1...8 Druckfehlern?

Wie gehe ich genau vor?

Gruß,
Lars

16.09.2006, 12:30

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, erstmal nichts mit Erwartungswertformel oder gar Logarithmen - letztere brauchst du hier überhaupt nicht. Du denkst nur in Formeln und gibst dir überhaupt keine Mühe, den Sachverhalt zu begreifen. Ein drittes Mal verweise ich nicht auf den Link, sondern kopiere direkt die relevante Stelle hier rein:

Zitat:

Original von gast4711
In einem Buch mit 400 Seiten sind 60 Druckfehler. Auf wieviele Seiten kann man 0,1,2,3,...8 Druckfehler erwarten?

Ich hätte jetzt p mit 1/400 und einen 60-fachen Bernoulli-Versuch mit k=0,1,2,... Erfolgen angenommen.

Das ist es, was du erstmal begreifen musst: Man betrachtet als Bernoulli-Einzelexperiment, dass ein Druckfehler auf einer bestimmten Seite landet, die Wahrscheinlichkeit dafür ist $\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{400} \end{eqnarray*}$ . Jetzt wiederholt man dieses Einzelexperiment 60-mal, und erhält ein Bernoulli-Experiment. Die zugehörige Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der Druckfehler auf einer Seite ist dann bekanntlich beschreibbar durch eine Binomialverteilung, nämlich $\begin{eqnarray*} X\sim B\left( 60,\frac{1}{400}\right) \end{eqnarray*}$ .

Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ beschreibt dann, dass auf einer Seite genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Druckfehler landen - und aufbauend auf dieser Wahrscheinlichkeit kannst du den Erwartungswert der Seitenanzahl mit genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Fehlern berechnen - steht auch alles schon im anderen Thread ...

16.09.2006, 12:51

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

p= 1/400, q=399/400, n=60

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = \begin{pmatrix} 60 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot (1/400)^{0} \cdot (399/400)^{60} \end{eqnarray*}$

Da kommt dann $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 0,860546339 \end{eqnarray*}$ raus?

Was nun?

16.09.2006, 13:10

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} E(x) = n \cdot p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(x) = 400 \cdot 0,861 \end{eqnarray*}$

E(x) = 344,4 \Rightarrow 344 Seiten

16.09.2006, 13:27

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das ist die erwartete Seitenzahl mit 0 Fehlern. Freude

16.09.2006, 13:30

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe!

Aber wie ist genau die Aufgabe b) zu verstehen?

Gruß,
Lars

16.09.2006, 13:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier kannst du direkt das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ benutzen: Gesucht ist hier einfach $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2006, 13:40

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Also quasi zwei oder mehr Druckfehler auf einer Seite?! Geht das dann so?

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 2)= P(X=2)+P(X=3) ... + P(X)=60 \end{eqnarray*}$

P(X\geq 2)= 1 - [P(X)=0 + P(X)=1 ]

16.09.2006, 13:48

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die letzte Zeile ist es: Man geht also hier besser über das Komplement (Gegenteil), ist ja deutlich weniger Rechenaufwand.

P.S.: Und sicher meinst du in der Zeile darüber $\begin{eqnarray*} P(X=60) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} P(X)=60 \end{eqnarray*}$ . Eine falsch gesetzte Klammer hat manchmal fatale Auswirkungen. Augenzwinkern

16.09.2006, 13:51

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Hups .. das war ein Flüchtigkeitsfehler .. sorry .. sag mal, bist du Mathelehrer oder so was?

16.09.2006, 13:52

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dazu hätte ich pädagogisch nicht die Nerven.

16.09.2006, 13:56

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik auf Diplom studiert?

16.09.2006, 14:05

Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir's kurz: User stellen sich vor - Teil 3

16.09.2006, 14:09

lars.martens

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe! Das wär gar nichts für mich .. ich hab schon Schiss vor der Mathematik, die ich in meinem Lehramtstudium Biologie und Chemie machen muss. =P

17.12.2009, 21:09

Freeman

Auf diesen Beitrag antworten »

n = 60 // Anzahl der Druckfehler
p = 1/400 // da ein Fehler auf irgendeiner, der 400 Seiten
q = 399/400 // 1 - p
k = 0,1,2,3 ... 8 // Anzahl der Fehler auf einer Seite

Formel für die Binomialwahrscheinlichkeit:

P(X=k) = (n nCr k) * p^k * (1 - p) ^ (n - k)

Jetzt nur noch die Werte eingeben:

P(X=0) = p^n = 0,8605 // hier kürzt sich alles weg
P(X=1) = 0,8605 * 60/1 * 1/399 = 0,1293
P(X=2) = 0,1293 * 59/2 * 1/399 = 0,0096
P(X=3) = 0,0096 * 58/3 * 1/399 = 0,0005
P(X=4) = 0,0005 * 57/4 * 1/399 = 0,0000

daher der Rest bis zu k = 8 eigentlich uninteressant

Neue Frage »

Antworten »

Schubfachprinzip: Dringend Hilfe gesucht!

Verwandte Themen