eukl. ebene, umkreis, bewegung, beweis

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geozula Auf diesen Beitrag antworten »
eukl. ebene, umkreis, bewegung, beweis
hallo, ich hänge an folgendem beweis der bemerkung:

sei f eine bewegung von E. dann gilt für den umkreis



.

ich hab jetzt erst mal alle a, b, und c ersetzt mit : Ta+q, Tb+q und Tc+q, weil ja die bewegung ne abbildung ist, die so lautet:
.
der umkreismittelpunkt ist def. durch:



dann hab ich halt für a gleich Ta+q eingesetzt usw. und ich wollte auf die form
kommen.

ich weiß jetzt aber nicht ob mein ansatz überhaupt richtig ist.
falls nein, weiß ich nicht wie es sonst gehen soll und falls ja,
weiß ich nicht welchen trick ich anwenden muss, um auf die gewollte form zu kommen. kann mir jemand helfen?


danke schon mal ,

lg geozula
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Es ist schwierig dir zu folgen, weil du recht viele unbekannte Begriffe und Bezeichnungen benutzt. Wir sitzen leider nicht in deiner Vorlesung. Was z.B. soll sein? Was ist ? Normalerweise steht dies für einen Vektorraum.

Ich weiß nicht, wie genau die Vorlesung angelegt ist und was ihr macht, aber eine etwas elementargeometrischere Lösung ohne solche monströsen Formeln könnte so gelingen:

Man schreibe den Umkreismittelpunkt in baryzentrischen Koordinaten mit . Dann gilt







wie man sich mit ein wenig Mühe überlegt. erhält als affine Abbildung die baryzentrischen Koordinaten, d.h. es gilt

.

Als Bewegung bleiben außerdem die Winkel erhalten und damit ist man schon fast am Ziel ...
geozula Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

erstmal danke für deine antwort! du hast recht, ich hätte meine bezeichnungen etwas genauer schildern sollen. dachte die sind allgemein so gültig, aber egal.

also das bedeutet a senkrecht, also es ist ein orthogonaler vektor, und mit ist die determinante gemeint.

das sind die bezeichnungen aus dem köcher/krieg buch, ebene geometrie. ich muss über umkreis und feurbachkreis ne zulassungsarbeit schreiben und bei diesem beweis hänge ich gerade eben.

es ist in dem buch immer so ne kurze beweiserklärung angegeben, aber ich muss es eben genauer ausführen. und als beweis steht im buch, dass es mit der mittelpunktsformel, die ich im letzten beitrag geschrieben hab, leicht rechnerisch nachzuvollziehen ist. leider komm ich nicht drauf wie ich das machen soll, bzw weiß ich nicht, wie ichs umformen soll usw.
es erscheint mir so einfach eigentlich, aber trotzdem hänge ich irgendwie, vielleicht hat noch jemand ne idee?

lg geozula
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von geozula
also das bedeutet a senkrecht, also es ist ein orthogonaler vektor, und mit ist die determinante gemeint.

Ein orthogonaler Vektor? Ich nehme an, du meinst einen zu orthogonalen Vektor. Davon gibt es aber unendlich viele. Und selbst wenn man noch dazu sagt, dass dieser eventuell normiert sein soll oder dass dieser die Länge von haben soll, gibt es immer noch jeweils zwei. Damit die Formel stimmt, muss das aber natürlich irgendwie eindeutig bestimmt sein. Und du schreibst, soll eine Determinante sein. Könntest du vielleicht noch dazu sagen, von welcher Matrix diese Determinante gebildet werden soll?

Im Übrigen habe ich dir schon einen Lösungsansatz angeboten, der auch gar nicht so schwierig ist. Das einzige, was man sich dabei noch überlegen muss, ist, warum die baryzentrischen Koordinaten so aussehen, wie ich sie angegeben habe.
geozula Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

ja ich meinte den zu a orthogonalen vektor. a,b,c sind vektoren aus der euklidischen ebene, also aus dem . also bedeutet gleich det(a,b,c).

es geht mir nicht darum ob die formel stimmt oder nicht, denn das tut sie bestimmt, sie is ja 1:1 aus dem buch übernommen. mir gehts eigentlich nur um den beweis. und ich muss das mit meiner definition von drehung lösen, also mit der Abb. .

von baryzentrischen koordinaten hab ich noch nie was gehört und es kommt auch in meinem buch nirgends vor, also darf oder soll ich es auch nicht verwenden.

naja, irgendwann werd ichs schon rausfinden.

danke aber trotzdem für deine hilfe,

lg geozula
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von geozula
ja ich meinte den zu a orthogonalen vektor.

Und welcher nun? Wie gesagt, davon gibt es unendlich viele.

Zitat:
Original von geozula
a,b,c sind vektoren aus der euklidischen ebene, also aus dem . also bedeutet gleich det(a,b,c).

ist eine -Matrix, davon kann man keine Determinante bilden!

Im Übrigen verwende ich die gleiche Definition einer Bewegung wie du. Ich benutze nur wohlbekannte Eigenschaften, die diese hat.

Ich würde dir auch versuchen zu helfen, den vorgeschlagenen Weg aus dem Buch zu gehen. Allerdings kann ich das nicht, solange du mir nicht sagst, wie genau dieser orthogonale Vektor und diese Determinante definiert sind. Schlage das bitte im Buch nach und gib es hier an oder versuche, alleine weiter zu kommen.
 
 
geozula Auf diesen Beitrag antworten »

also:






und
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Es ist





und du musst jetzt einfach alles komplett durchrechnen. Das heißt die Beträge mithilfe des Skalarprodukts ausdrücken, die Linearität der Abbildung ausnutzen, nachrechnen und dann alles auseinanderziehen. Du musst am Ende auf folgendes kommen:

.

(Warum gilt diese Gleichheit?)

Ich glaube, dass eine Stelle der Rechnung etwas problematisch ist. Ich möchte das aber nicht alles durchrechnen. Aber vielleicht schaffst du es ja trotzdem.
geozula Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

ah, ok, gut, das hilft mir jetzt weiter. so hätt ichs nämlich auch gemacht, aber ich dachte eben auch, dass es sehr kompliziert werden könnte und war mir dann nicht mehr sicher ob der ansatz ÜBERHAUPT stimmt. aber ich rechne jetz mal daran rum, es wird dann schon früher oder später mal das richtige rauskommen Augenzwinkern

vielen vielen dank für deine mühe Freude


schönen sonntag abend noch,

lg geozula
geozula Auf diesen Beitrag antworten »

so ich habs jetzt soweit rausbekommen. das einzige problem ist nur, dass kein q mehr übrig geblieben ist. ich denke man kann das q wahrscheinlich aus irgendeinem grund am ende wieder dazu addieren damit man auf die gewünschte form kommt. sicher bin ich mir dabei aber nicht, und mir fällt auch keine wirkliche begründung ein, warum das so sein könnte, denn beim rechnen kürzen sich alle q's raus.

hat jemand vielleicht ne idee?

lg geozula
geozula Auf diesen Beitrag antworten »

hallo zusammen, ich bins mal wieder, immer noch wegen dem selben problem. mein prof hat jetzt die zula durchgesehen und mir den hinweis gegeben, dass dieser beweis, den ich oben geschildert hab, falsch ist. er meinte ich soll erstens das ganze nicht für bewegungen zeigen, sondern "nur" für translationen mit f(x)=x+q . und zweitens soll ich das nicht mit der "umkreismittelpunktsformel" machen, sondern über die mittelsenkrechten. die mittelsenkrechte ist bei mir so definiert:



Jetzt muss ich also zeigen dass ist.

klingt ganz leicht, aber ich bekomms einfach nicht hin. ich weiß auch nicht ob ich das q auch zu x addieren muss oder nicht. wenn ich es mache, bleibt gar kein q mehr übrig und wenn ich es nicht mache bleibt übrig.

ich bin mit den nerven schon ziemlich am ende weils doch eigentlich nicht so schwer sein kann, aber irgendwie hab ich da nen kompletten hänger.
kann mir jemand helfen das auszurechnen?


lg geozula
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