Lösung eines Gleichungssystems mit sin und cos

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qwerty Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung eines Gleichungssystems mit sin und cos
Hallo allerseits,

ich habe folgendes Problem:
Ich möchte ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen sowie 2 Unbekannten (x,y) lösen und komme nicht weiter.

2 = 2*(cos(x) + sin(x)) + 3*(cos(y) + sin(y))
4 = 2*(cos(x+3) + sin(x+3)) + 3*(cos(y+5) + sin(y+5))

Eigentlich sollte das GLS lösbar sein, oder?

Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Additionstheoreme.
qwerty Auf diesen Beitrag antworten »

Hab' ich probiert, aber nichts Vernünftiges hinbekommen. Hast du eine Idee?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, so läuft das nicht. Stell konkrete Fragen. unglücklich Und vor allem: zeig, was du gemacht hast.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte alle vorkommnden Winkelfunktionen sin (...) und cos(...) in Exonentiallafunktionen exp(...) mit komplexen Argumenten umwandelt. Das geht mit folgenden Formeln, die du sicher kennst

cos(z)=0,5*[exp(zi)+exp(-iz)]
sin(z)=-0,5i*[exp(zi)-exp(-iz)]

Zum Beispiel ergibt dann

cos(x+3)=0,5*[exp[(x+3)i]+0,5*exp[-(x+3)i]
=0,5*exp(3i)*exp(ix)-0,5*3i*exp(-ix)
usw.

Somit kommst du auf ein nichtlineares Gleichungssystem, dass nur noch die Variablen exp(ix) und exp(iy) enthält (bzw. derenKehrwerte). Die Rechnung kann aber ziemlich lang werden.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nichts anderes als mein Vorschlag.
 
 
qwerty Auf diesen Beitrag antworten »

Danke soweit! Diesen Ansatz hatte ich auch schon probiert. Ich bin aber immer noch nicht bei der Lösung.

Die Aufgabe war das Gleichungssystem nach x und y aufzulösen.
Letzter Stand:

I a = b*exp(ix) + c*exp(iy)
II d = b*exp(i(x+2)) + c*exp(i(y+3))

wobei a und d komplexe Zahlen sind.

nach Umstellen erhalte ich:

I b*exp(ix) = a - c*exp(iy)
II d = b*exp(ix)*exp(2i) + c*exp(iy)*exp(3i)

nach Einsetzen und Umformen:

exp(iy) = (d + a*exp(2i)) / (c*exp(2i) - c*exp(3i))

Nun könnte ich ja nach y auflösen (wenn soweit alles stimmt).
Nur: Was passiert mit meinem i aus iy? Und kann ich das mit log auflösen, wenn a und d komplexe Zahlen sind?

Ich bin für jeden Tipp dankbar!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommen denn nun plötzlich die a,b,c,d her, wo sind die Zahlen geblieben, und wie hängt das neue Gleichungssystem mit dem alten zusammen? verwirrt

Warum benutzt du nicht die bereits vorgeschlagenen Additionstheoreme?
qwerty Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte nur einfacherweise a-d durch Zahlen ersetzt. Da a und d aber komplexe Zahlen sind, macht das wohl doch einen Unterschied.
Die Gleichungen sind eigentlich die selben nachdem ich die Additionstheoreme angewendet habe

cos(z)=0,5*[exp(zi)+exp(-iz)]
sin(z)=-0,5i*[exp(zi)-exp(-iz)]

I a = b*exp(ix) + c*exp(iy)
II d = b*exp(i(x+2)) + c*exp(i(y+3))


Probleme habe ich bei der Auflösung von
exp(iy) = (d + a*exp(2i)) / (c*exp(2i) - c*exp(3i))
nach y.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von qwerty
Probleme habe ich bei der Auflösung von
exp(iy) = (d + a*exp(2i)) / (c*exp(2i) - c*exp(3i))
nach y.


Ist denn sichergestellt, dass die rechte Seite den Betrag Eins hat?
qwerty Auf diesen Beitrag antworten »

exp(iy) = (d + a*exp(2i)) / (c*exp(2i) - c*exp(3i))

Ist denn sichergestellt, dass die rechte Seite den Betrag Eins hat?

Dass die rechte Seite den Betrag Eins hat ist nicht sicher. Man könnte aber an der Stelle den Betrag der rechten Seite bestimmen.
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich die Gleichung nach y auflösen soll. Ich würde logarithmieren (eventuell problematisch) und dann weiß ich auch nicht genau was ich mit dem i machen soll.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von qwerty
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich die Gleichung nach y auflösen soll.


Nun, das kannst du genau dann, wenn die rechte Seite den Betrag Eins hat.
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