cauchyscher hauptwert

20.05.2009, 09:36	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
cauchyscher hauptwert kann mir jemand den cauchyschen hauptwert erklären? ich verstehe noch nicht so ganz, wann man ihn genau immer anwendet und wann er existiert. und auch wie man dann die grenzen wählt. Über ein beispiel würde ich mich freuen MfG
21.05.2009, 13:14	kaguya_hime	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: cauchyscher hauptwert Der Cauchysche Hauptwert ordnet manchen Integralen einen endlichen Wert zu, die als Lebesgue- oder uneigentliches Riemann-Integral nicht existieren. Ein elementares Beispiel, dass mir einfällt, ist $\begin{eqnarray} <br /> PV \int_{-1}^1 \frac {ax+b} x \,dx = \lim_{\varepsilon\to 0} \left(\int_{-1}^{-\varepsilon} \frac {ax+b} x \,dx + \int_{\varepsilon}^1 \frac {ax+b} x \,dx \right)<br /> = \lim_{\varepsilon\to 0} \bigl(ax+b\log(-x) \|_{x=-1}^{-\varepsilon} + ax+b\log x \|_{x=\varepsilon}^1\bigr)<br /> = \lim_{\varepsilon\to 0} \bigl(a(1-\varepsilon)+b\log\varepsilon + a(1-\varepsilon) - b\log \varepsilon\bigr) = 2a<br /> \end{eqnarray}$ Es ist hier unbedingt wichtig, dass man auf gleiche Weise von beiden Seiten gegen die 0 geht, weil sonst ein anderer Wert rauskäme. Ein Beispiel aus der Analysis, wo der Cauchysche Hauptwert tatsächlich auftaucht, ist die Fouriertransformation der Signumsfunktion. Ich hoffe, das hilft Dir fürs erste weiter. In welchem Zusammenhang bist Du auf den Cauchy-Hauptwert gestoßen?
22.05.2009, 01:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder bestrachte einfach das Integral von 1/x über (-1,1).
18.06.2009, 12:57	butterfliege85	Auf diesen Beitrag antworten »
bei übungsaufgaben, wieso existiert der chauchysche hauptwert denn manchmal nicht, z.b. fürs integral von -1 bis1 von 1/x²?
18.06.2009, 13:08	butterfliege	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw woher weiß ich wann ich den grenzwert gemeinssam betrachte und nicht getrennt? z.b. hab ich bei der sgnx funktion ja divergenz wenn ich einmal von -unendlich bis 0 und von 0 +unendlich aber betrachte ich das ubtegral gleich von - bis +unendlich dann erhalte ich ja 0

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