reihendarstellung

20.05.2009, 09:59

das_muesli

reihendarstellung

Bitte gib hier Deine Frage ein. Welche Lösungsansätze sind Dir selbst dazu eingefallen? Was hast Du schon probiert? Bedenke, dass wir hier Hilfe zur Selbsthilfe leisten und keine Komplettlösungen liefern werden. Viel Erfolg!

20.05.2009, 10:02

dura

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RE: reihendarstellung
sry...anmeldung ging nicht, da hab ich als gast eingetragen und dabei ging irgendwie der text verloren.

also hier nochmal meine frage:

wie kann man sich die reihendarstellung der winkelfunktionen überlegen bzw herleiten?
woraus ergeben die sich?

was sind noch wichtige darstellungen der winkelfkt (neben der reihendarstellung) ??

vielen danke schon mal

greetz, dura

20.05.2009, 10:47

Witzkuminator

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Huhu

Ich mach das mal anhand dem Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$

Nach Taylor bzw. Maclaurin gilt (etwas vereinfacht):

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0) \cdot x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

für jede beliebig oft differenzierbare Funktion f(x), wobei $\begin{eqnarray*} f^{(k)} \end{eqnarray*}$ die k-te Ableitung angibt.

Die Entwicklungsstelle ist hier 0, ich gehe mal davon aus dass du die Grundidee der Taylorreihe kennst und verstanden hast.

für dieses Beispiel ist:

$\begin{eqnarray*} f(0) = cos(0) = 1 f'(0) = - sin(0) = 0 f''(0) = - cos(0) = -1 f'''(0) = sin(0) = 0 f''''(0) = cos(0) = 1 usw. \end{eqnarray*}$

ab hier wiederholen sich die weiteren werte der 1. Ableitung an der Stelle 0 mit der Periode 4. Wir kriegen also eine Reihe 1,0,-1,0,1 usw.

Die Summenglieder bei denen $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist fallen weg weil dieses Summenglied mit 0 multipliziert wird.

Das ist genau für alle ungeraden k der Fall (1. Ableitung, 3. Ableitung usw.).

also können wir unsere Summe schonmal umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} cos(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(2k)}(0) \cdot x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ ,

sodass nur die Summenglieder mit geradem k erfasst werden.

Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} f^{(2k)}(0) \end{eqnarray*}$ ? Nun, die geraden Ableitung haben wir wir oben gesehen haben immer Potenzen von -1 ergeben, nämlich 1, -1, 1 usw.

Wir können daraus ablesen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(2k)}(0) = (-1)^k \end{eqnarray*}$ , denn das erzeugt genau die Folge 1, -1, 1 usw.

Einsetzen in die Summe ergibt:

$\begin{eqnarray*} cos(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ ,

was genau die Formel ist die du in einer Formelsammlung nachschlagen kannst.

Versuch das gleiche mal für $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ , ist prinzipiell genau das gleiche^^

Du kannst mit der Reihendarstellung von Sinus und Cosinus übrigens die eulersche Identität

$\begin{eqnarray*} e^{i\phi} = \cos{\phi} + i \cdot \sin{\phi} \end{eqnarray*}$

sehr schön beweisen, indem du für Sinus und Cosinus die Reihendarstellung einsetzt. Dann kommt nämlich genau die Reihendarstellung der komplexen e-Funktion heraus smile

20.05.2009, 11:11

dura

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Hi,

vielen dank erst mal für die antwort.
ich werd mir das jetzt mal in ruhe reinziehen und dich gegebenenfalls nochmal mit fragen belästigen smile

greetz, dura

20.05.2009, 11:31

Nubler

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taylor konvergiert i.a. nicht zwingend gegen die funktion

20.05.2009, 11:56

Witzkuminator

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joa das weiß ich, deswegen hab ich auch geschrieben "etwas vereinfacht". für diese anwendung reicht das aber Augenzwinkern

20.05.2009, 16:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Nubler
taylor konvergiert i.a. nicht zwingend gegen die funktion

Hier schon. Und das kriegt man sehr leicht raus, wenn man das Nötigste über Potenzreihen weiß.

20.05.2009, 16:54

kaguya_hime

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@dura: Kannst Du bitte präzisieren, was für Dich die Definition des Sinus ist? Ist es "Gegenkathete/Hypothenuse", der Imaginärteil der komplexen Exponentialfunktion, Lösung der Dgl "y''+y=0 mit y(0)=0, y'(0)=1"?
Je nachdem ergeben sich unterschiedliche Herleitungen der Sinusreihe.

Andere Darstellungen sind zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sin(\pi z) = \frac {\pi}{\Gamma(z) \Gamma(1-z)} = \end{eqnarray*}$ Tanzen

$\begin{eqnarray*} \pi z \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac {z^2}{n^2}\right) \end{eqnarray*}$

Man beachte das Schaf!

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