Algebrenhomomorphismus nachweisen

20.05.2009, 19:40

Algebrenhomomorphismus nachweisen

Eigentlich geht's um keine schwere Aufgabe. Ich soll "lediglich" nachweisen, dass eine gegebene Abbildung ein Algebrenhomomorphismus ist - aber ich tue mich irgendwie relativ schwer damit, weil ich auch mit Restklassen noch nicht ganz so fit bin.... Insgesamt fehlt mir noch so ein bisschen ein Bild unglücklich

.

Jedenfalls geht es um die Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \varphi :~\mathbb{F}_9 \to \mathbb{F}_3^{2\times 2},~~ x+y\cdot [X] \mapsto \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}~~ \forall\, x,y \in \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$
wobei der $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ definiert ist als:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 := \mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)\mathbb{F}_3[x] \end{eqnarray*}$ , (Restklassenkörper modulo $\begin{eqnarray*} (X^2+1) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} [X] \end{eqnarray*}$ die Restklasse von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Zu zeigen: Die Abbildung ist ein injektiver $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ -Algebrenhomomorphismus.
Wir wissen, dass beides Algebren sind, d.h: es genügt zu zeigen, dass die Abbildung einen Algebrenhomomorphismus definiert.

Was muss ich alles zeigen? Meiner Meinung nach:

a) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert. Das heißt: Die Abbildung liefert unter denselben Elementen der Urmenge dieselben Bilder (und sie liefert IMMER Bilder).
b) Die Abbildung ist linear.
c) Es gilt (Multiplikation) $\begin{eqnarray*} \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)~~ \forall\, a,b \in \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$
d) Die Abbildung ist injektiv, d.h.: Der Kern enthält nur ein Element, das Nullelement.

Ich fange einfach mal mit der Wohldefiniertheit an, denn schon da bin ich mir nicht sicher. Wohldefiniertheit=Repräsentantenunabhängigkeit.
Sei $\begin{eqnarray*} a=x+y[X]\in \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=x'+y'[X]\in \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ .
z.Z: $\begin{eqnarray*} \varphi (a) = \varphi (b) \end{eqnarray*}$
Meiner Meinung nach folgt aus der Voraussetzung sofort, dass $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=y' \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

Dann Linearität: Es muss gelten: $\begin{eqnarray*} \varphi (\lambda a+b)=\lambda \varphi (a) + \varphi (b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{F}_9,~\lambda \in \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$
Das ist einfach einsetzen und ausrechnen.

Stimmt das soweit oder ist das Murks?
Gruß
MI

20.05.2009, 20:22

Elvis

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Linearität : $\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda a+\mu b)=\lambda\varphi(a)+\mu\varphi(b) \end{eqnarray*}$
Isomorphismus oder Homomorphismus ? Homomorphismus muß nicht injektiv sein.

20.05.2009, 20:39

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Zitat:

Original von Elvis
Linearität : $\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda a+\mu b)=\lambda\varphi(a)+\mu\varphi(b) \end{eqnarray*}$

Ja gut, okay, das Mu hatte ich vergessen.

Ist die Wohldefiniertheit also korrekt? Wenn ja, dann mache ich gleich mal weiter.

Zitat:

Isomorphismus oder Homomorphismus ? Homomorphismus muß nicht injektiv sein.

injektiver Homomorphismus nach Aufgabenstellung - also Monomorphismus.

Gruß
MI

21.05.2009, 10:39

Klappergrasmuecke

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Hi, ich komm auch aus Aachen Augenzwinkern

Ich hab nur c) und d) gezeigt. Warum sollte man b), also Linearität zeigen? Dass man zu a) noch n Wort verlieren kann, ok... Aber warum Linearität?
Dann kann man das mit dem Kern benutzen, dass der nur das Nullelement hat und so Injektivität zeigen... ok, aber Injektivität "sieht" man hier auch so. Oder hab ich gerade die Def. falsch im Kopf?

21.05.2009, 10:56

jester.

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Ich glaube, man muss die Linearität zeigen, weil es sich um eine Algebra (Ring- und Vektorraumstruktur) handelt, richtig? verwirrt

21.05.2009, 11:00

Elvis

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Hallo,
die Linearität lässt sich auch in zwei Schritten nachweisen, also für Addition und skalare Multiplikation getrennt, im allgemeinen sind die Formeln dann einfacher, die Zusammenfassung hat eigentlich nur theoretisch einen Vorteil.
Vermutlich ist das einzig mögliche Problem beim Nachweis der Multiplikativität zu erwarten, also beim Nachweis von $\begin{eqnarray*} \varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b) \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du die Multiplkation in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \end{eqnarray*}$ in Koordinaten darstellen und zeigen, daß diese Darstellung mit der Matrizenmultiplikation übereinstimmt. Dürfte nicht allzu schwer sein, liegt letzlich an der definierenden Gleichung $\begin{eqnarray*} X^2+1=0\Leftrightarrow X^2=-1 \end{eqnarray*}$ und deshalb funktioniert dieser Homomorphismus genauso wie für komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit reellen Zahlen.

21.05.2009, 11:04

Elvis

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Klar muß man Linearität zeigen, eine Algebra ist ein Vektorraum mit Multiplikation.

21.05.2009, 11:06

jester.

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Zitat:

Original von Elvis
Klar muß man Linearität zeigen, eine Algebra ist ein Vektorraum mit Multiplikation.

Ha! Ich hab's gewusst. Augenzwinkern

21.05.2009, 12:10

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Zitat:

Original von Klappergrasmuecke
ok, aber Injektivität "sieht" man hier auch so. Oder hab ich gerade die Def. falsch im Kopf?

Das man's SIEHT, ist mir auch klar. Man sieht auch, dass das Ganze wohldefiniert ist und dass es linear ist. Aber wenn man überall "Klar" dranschreibt, dann gibt's nun einmal keine Punkte und wenn man mal was übersehen hat, ist's auch wieder käse Augenzwinkern

.
Ich weiß auch nicht genau, was mein Problem war... aber irgendwie war ich mir so unsicher, weil im Grunde alles (bis evtl. die Multiplikation) "klar" ist.

Ja Multiplikation wäre das schwierigste, aber man sieht ja sofort (jetzt nicht formal korrekt, das kriege ich dann noch selbst hin):

$\begin{eqnarray*} (x+y[X])*(x'+y'[X])=xx'+yy'[X]^2+(x'y+xy')[X] \end{eqnarray*}$
und jetzt die definierende Gleichung anwenden und man hat das Minus, das man von der Matrizenmultiplikation auf der Hauptdiagonalen braucht.

Dann aber auf jeden Fall Danke Elvis für deine Hilfe!

Gruß
MI

21.05.2009, 14:01

Klappergrasmuecke

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Zitat:

Original von Elvis
Klar muß man Linearität zeigen, eine Algebra ist ein Vektorraum mit Multiplikation.

oh habs in der definition gefunden, war sehr versteckt Big Laugh

21.05.2009, 14:48

jester.

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@MI: Ich arbeite gerade auch an der Multiplikation: Wie darf ich denn dieses $\begin{eqnarray*} [X]^{2} \end{eqnarray*}$ verstehen? Das kommt bei mir (logischerweise) auch heraus, jetzt bin ich mir allerdings gar nicht so sicher, was ich damit anfangen soll.

Edit: Hat sich erledigt. Hab einfach noch mal den Beitrag von Elvis gelesen. Also den mit der definierenden Gleichung.

21.05.2009, 18:11

Elvis

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Jawohl, wenn wir nach $\begin{eqnarray*} (X^2+1) \end{eqnarray*}$ faktorisieren, so ist $\begin{eqnarray*} [X]^2+1=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [X]^2 = -1 = 2 \in \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ .

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