Linearer Operator

20.05.2009, 19:50

Max Simon

Linearer Operator

Hallo

Gegeben ist

$\begin{eqnarray*} A: C[-1,1]-->C[-1,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (Af)x := -f(-x) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass durch A ein stetiger linearer Operator definiert ist.

Dafür hab ich "Operator" einfach mal durch "Abbildung" ersetzt und dann die Additivität und Homogenität nachgewiesen. Auch die Stetigkeit konnte ich so zeigen.

Weiter wird verlangt, die Norm des Operators zu berechnen.
Und hier ist mein Problem: Was ist zu tun???

Ich weiß nicht, was ich hier machen soll.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke

20.05.2009, 20:22

Mathespezialschüler

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Mit welcher Norm soll denn auf $\begin{eqnarray*} C([-1,1]) \end{eqnarray*}$ gearbeitet werden? Ich nehme mal an, dies sei die Supremumsnorm.

Sind $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ normierte Räume und ist $\begin{eqnarray*} A:X\to Y \end{eqnarray*}$ ein stetiger linear Operator, so ist die Operatornorm definiert durch

$\begin{eqnarray*} \|A\|:=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X}=\sup_{\|x\|_X=1}\|Ax\|_Y \end{eqnarray*}$ .

Dies ist in diesem Fall recht einfach zu berechnen.

20.05.2009, 20:56

saz

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Eine Frage zu der Stetigkeit? Was heißt es denn, dass ein Operator stetig ist? Muss ich zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ existiert, sodass für $\begin{eqnarray*} \|f-g\|< \delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \|(Af)(x)-(Ag)(x)\| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

20.05.2009, 21:34

Mathespezialschüler

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Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ innerhalb der zweiten Norm ist zu viel.

Das, was du hingeschrieben hast, wäre sogar schon gleichmäßige Stetigkeit. Für die Stetigkeit reicht es zu zeigen, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und jedem $\begin{eqnarray*} f_0\in C([-1,1]) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \|Af-Af_0\|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f\in C([-1,1]) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|f-f_0\|<\delta \end{eqnarray*}$ .

20.05.2009, 21:41

saz

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Achso stimmt, man kann ja $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von der Funktion wählen. Aber okay danke, dann war der Grundgedanke ja schon mal richtig ;-)

21.05.2009, 00:49

Max Simon

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ja, es ist hier die Supremumsnorm allerdings auf einenem Intervall [a,b], hier also [-1,1].

Die Definition, die wir für solche Normen haben sieht etwas anders aus:

$\begin{eqnarray*} ||A|| := sup\left\{ |Ax|; x\in \mathbb R ^{n}, |x|\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Doch wie hab ich da jetzt das f mit reinzubringen?

21.05.2009, 09:56

saz

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Wenn ich das richtig verstanden habe, ist dein x jetzt eben eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \in C[-1,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|f\|=1 \end{eqnarray*}$ ... und nun müsst du das Supremum über $\begin{eqnarray*} \|Af\| \end{eqnarray*}$ bilden...

21.05.2009, 14:24

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
$\begin{eqnarray*} ||A|| := sup\left\{ |Ax|; x\in \mathbb R ^{n}, |x|\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Das ist nur eine Spezialfall für lineare Abbildungen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Verallgemeinert ist das dann eben

$\begin{eqnarray*} \|A\|:=\sup\{\|Af\|_{\infty}\ |\ f\in C([-1,1]),\|f\|_{\infty}\leq 1\} \end{eqnarray*}$ ,

wie saz schon richtig sagte.

23.05.2009, 01:08

Max Simon

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Also so ganz sicher bin ich mir immer noch nicht.

Ich berechne also

$\begin{eqnarray*} ||Af||=||-f(-x)||=\sup_{x \in [-1,1]}|f(-x)| \end{eqnarray*}$

Weil f eine stetige Funktion im Intervall [-1,1] ist, ist die Norm dann 1 oder wie?

Kann mir vlt. jemand genauer erklären, wie man sowas berechnet?

Danke

23.05.2009, 15:51

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in [-1,1]}|f(x)|=1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in [-1,1]}|-f(-x)|=1 \end{eqnarray*}$ .

23.05.2009, 20:18

Max Simon

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Ja, aber ist denn das Supremum hier gleich 1?

Also ist C[-1,1] die Menge aller stetigen Funktionen, deren Funktionswerte nur zwischen -1 und 1 liegen oder alle stetigen Funktionen, welche auf dem Intervall [-1,1] definiert sind?

Und muss das x überhaupt aus [-1,1] sein?

23.05.2009, 20:25

saz

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Zitat:

Original von Max Simon
Ja, aber ist denn das Supremum hier gleich 1?

Wie oben schon geschrieben wurde: Du betrachtest doch für die Normen Funktionen $\begin{eqnarray*} f \in C[-1,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|f\| = 1 \end{eqnarray*}$ . Und die Norm, die man auf Funktionen definiert, ist doch gerade die Supremumnorm:

$\begin{eqnarray*} \|f\|_{[a,b]} = \sup \{|f(t)|, a \leq t \leq b \} \end{eqnarray*}$

Und diese Norm soll in dem Fall gerade $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Original von Max Simon
Also ist C[-1,1] die Menge aller stetigen Funktionen, deren Funktionswerte nur zwischen -1 und 1 liegen oder alle stetigen Funktionen, welche auf dem Intervall [-1,1] definiert sind?

Zweiteres.

25.05.2009, 00:51

WebFritzi

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RE: Linearer Operator

Zitat:

Original von Max Simon
Hallo

Gegeben ist

$\begin{eqnarray*} A: C[-1,1]-->C[-1,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (Af)x := -f(-x) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass durch A ein stetiger linearer Operator definiert ist.

Mensch Meier...

$\begin{eqnarray*} \|Af\| = \sup_{x\in[-1,1]}|-f(-x)| = \sup_{x\in[-1,1]}|f(-x)| = \sup_{x\in[-1,1]}|f(x)| = \|f\|. \end{eqnarray*}$

Fertig.

26.05.2009, 19:59

Max Simon

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RE: Linearer Operator
Tut mir Leid, dass ich in der Sache nicht so richtig durchblicke bisher und deshalb sicherlich auch dumme Fragen stelle.

Danke für eure Hilfe. Zumindest für diesen Fall hab ichs verstanden. Freude

LG Max

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Linearer Operator

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