Komplexe Mengen

20.05.2009, 23:24

emi.salomon

Komplexe Mengen

Hi alle zusammen. Ich zerbrech mir den Kopf über eine Menge
M={z€C: |Re(z)-2|+|2-Im(z)|=<4} welche ich skizzieren soll

Ich hab so angefangen:

mit Re(z)=a und Im(z)=b

=> |a-2|+|2-b|=<4

verwirrt

jetzt muss ich wahrscheinlich beachten... dass a-2<ggf.>0 und genau so mit 2-b
...aber dann komm ich nicht mehr weiter...
Ich bin für jeden VOr-und Ratschlag dankbar. Und ich würde ehrlich gesagt wissen, wie Ihr bei solchen Aufgaben vrogehen würdet....biddebidde dieses Thema ist das einzige welches mir noch schlaflose Nöchte bereitet traurig

Edit (mY+): Hilfeschreie und Drängen machen nicht gerade Lust, sich mit deinem Thema zu befassen. Wurde aus dem Titel entfernt.

21.05.2009, 10:10

mYthos

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Beachte die Tatsache, dass für den Betrag r einer komplexen Zahl gilt:

$\begin{eqnarray*} r = |a + bi| = \sqrt{a^2+ b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Welches geometrische Gebilde wird durch diese Gleichung in der komplexen Zahlenebene dargestellt?

Für dein Beispiel muss dann gelten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(a - 2)^2 + (b - 2)^2} \leq 4 \end{eqnarray*}$

mY+

21.05.2009, 12:07

Huggy

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RE: Komplexe Mengen
Da hat mYthos wohl einen Teil der Betragsstriche übersehen.

Dein Ansatz mit der Fallunterscheidung ist richtig. Für jeden der 4 Fälle erhältst du ein Dreieck in der a-b-Ebene (x-y-Ebene wäre intuitiver). Die 4 Dreiecke ergeben zusammen ein Quadrat.

22.05.2009, 00:53

mYthos

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RE: Komplexe Mengen

Zitat:

Original von Huggy
Da hat mYthos wohl einen Teil der Betragsstriche übersehen.
...

Leider. Danke!

mY+

04.06.2009, 16:28

christiansjio

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hallo alle zusammen, also ich sitze gerade vor genau der gleichen aufgabe, habe jedoch überhaupt keinen ansatz, ich weiß zwar was eine fallunterscheidung ist aber ich kann dass hier nicht so richtig einordnen , hoffentlich kann mich jemand auf den richtigen weg geleiten, danke

04.06.2009, 18:50

Huggy

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Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} (*)\quad|a-2|+|2-b|\leq 4 \end{eqnarray*}$

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} a-2\geq 0\Rightarrow |a-2|=a-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-b\geq 0\Rightarrow |2-b|=2-b \end{eqnarray*}$
Aus (*) wird:
$\begin{eqnarray*} a-2+2-b\leq 4\quad also \quad a-b\leq 4 \end{eqnarray*}$

Die Schnittmenge der drei Halbebenen
$\begin{eqnarray*} a-2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-b\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a-b\leq 4 \end{eqnarray*}$
ergibt ein Dreieck.

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} a-2\geq 0\Rightarrow |a-2|=a-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-b\leq 0\Rightarrow |2-b|=b-2 \end{eqnarray*}$
Aus (*) wird:
$\begin{eqnarray*} a-2+b-2\leq 4\quad also \quad a+b\leq 8 \end{eqnarray*}$
usw.

Die Fälle 3 und 4 sollten jetzt klar sein.

12.06.2012, 11:46

BatistaVK

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Hallo, ich stehe genau vor derselben Aufgabe, nur ich frage mich, warum ich da eine Fallunterscheidung machen muss.

Warum kann man das hier nicht einfach als eine Kreisgleichung betrachten?

Also, genau wie hier:

$\begin{eqnarray*} r = |a + bi| = \sqrt{a^2+ b^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Oder geht das deshalb nicht, da das, was im betrag steht, nicht gleich $\begin{eqnarray*} |a + bi| \end{eqnarray*}$ ist? Und deshalb nicht zur bekannten Kreisgleichung führt?

12.06.2012, 12:55

Huggy

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Das wurde doch schon geklärt! Mit $\begin{eqnarray*} z=a+ib \end{eqnarray*}$ kommst du nirgends in der Aufgabe auf $\begin{eqnarray*} |a+ib| \end{eqnarray*}$ .

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