Bild (A) = Kern (C) wobei A,C Matrizen aus K

21.05.2009, 12:44

Iorek

Bild (A) = Kern (C) wobei A,C Matrizen aus K

Hallo,

da dies mein erster Beitrag ist, stelle ich mich kurz vor:
Ich bin Erstsemester für Mathematik in Aachen und knabber zur zeit (wie so manch anderer in den Beiträgen unter mir Augenzwinkern

) zur zeit an LA. Hab grad ein Problem bei folgender Aufgabe:

Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} A \in K ^{m x n} \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie, dass eine Matrix $\begin{eqnarray*} C \in K^{d x m} \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} d>=1 \end{eqnarray*}$ und Bild (A-Schlange) = Kern (C-Schlange).

Ich habe nun gezeigt, dass es eine Matrix $\begin{eqnarray*} A' \in K^{m x k}, k<=n \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} Bild (A) = Bild (A') \end{eqnarray*}$

Außerdem hab ich noch, dass es $\begin{eqnarray*} B \in K^{m x k}, C \in K^{k x n} gibt mit A=B*C und Kern (A) = Kern (G). \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich jetzt hier nicht weiter, wie kann ich zeigen dass Bild (A) = Kern (C)? Oder muss ich da einen ganz anderen Ansatz wählen?

21.05.2009, 12:51

tigerbine

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RE: Bild (A) = Kern (C) wobei A,C Matrizen aus K
Latex:

code:

1:

Sei K ein Körper und [latex]A \in \mathbb K ^{m \times n}[/latex]. Zeigen sie, dass eine Matrix [latex]C \in \mathbb K^{d \times  m} [/latex] existiert mit [latex]d\geq 1[/latex] und  [latex]\text{Bild}(\tilde{A}) = \text{Kern}(\tilde{C})[/latex].

Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb K ^{m \times n} \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie, dass eine Matrix $\begin{eqnarray*} C \in \mathbb K^{d \times m} \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} d\geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{Bild}(\tilde{A}) = \text{Kern}(\tilde{C}) \end{eqnarray*}$ .

Was sollen $\begin{eqnarray*} \tilde{A}, \tilde{C} \end{eqnarray*}$ sein?

21.05.2009, 12:58

Iorek

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Das sind die zu A, C zugehörigen linearen Abbildungen. Im Prinzip könnte da auch Bild (A) = Kern (C) stehen, die Aufgabe ist halt einfach so gestellt.

21.05.2009, 13:41

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \tilde{A}:~\mathbb K^n \to \mathbb K^m,~\text{Bild}(A) \subseteq \mathbb K^m \end{eqnarray*}$

Nun könnte A ja aus lauter Nullen bestehen.

$\begin{eqnarray*} \text{Bild}(\tilde{A}) = \{0\} = \text{Kern}(\tilde{C}) \end{eqnarray*}$

Damit muss C regulär sein und d=m. So was lässt sich ja konstruieren... Augenzwinkern

Wenn A nun einen Eintrag ungleich 0 hat, so haben wir einen Rang von mind. 1. Wir finden also eine Basis des UVR Bild(A). Die maximale Länge ist m.

$\begin{eqnarray*} \text{Bild}(\tilde{A}) = \text{span}\{a_1,...,a_M\},~M \leq m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{C}:~\mathbb K^m \to \mathbb K^d \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\tilde{C}) \subseteq \mathbb K^m \end{eqnarray*}$

Wir definieren ihn dann hier einfach:

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\tilde{C}): = \text{span}\{a_1,...,a_M\} \end{eqnarray*}$

Nach Basisergänzungssatz gibt es Vektoren, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb K^m = \text{span}\{a_1,...,a_M,a_{M+1},...,a_m\} \end{eqnarray*}$ (*)

Nun muss eben gelten,

$\begin{eqnarray*} a_{M+1},...,a_m \notin \text{Ker}(\tilde{C}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir nun die darstellende Matrix anschaue, dann stelle ich die erstmal bzgl. dieser Basis (*) auf. In den Spalten stehen ja die Bilder der Basisvektoren.

$\begin{eqnarray*} C_{*} =\begin{pmatrix} 0_{M \times M} & 0_{M \times (m-M)} \\ 0_{(m-M)\times M} & Id_{(m-M) \times (m-M)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit einem Basiswechsel kann man die dann ja beliebig verändern. So würde ich mir das eben basteln. Also gibt es das auch. Augenzwinkern

21.05.2009, 15:19

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Man kann aber auch die Abbildung gleich konstruieren, indem man den Gauß-Algorithmus benutzt und sich überlegt, was gelten muss, damit ein Gleichungssystem lösbar ist.

21.05.2009, 15:31

jester.

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Und das funktioniert wie das Beispiel im Skript, Seite 32. Wink

22.05.2009, 01:17

WebFritzi

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Also, die Aufgabe ist doch recht einfach. Den Fall Bild(A) = {0} haben wir ja schon geklärt. Sei $\begin{eqnarray*} \{w_{k+1},\dots,w_m\} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} k\in\{0,\dots,m-1\} \end{eqnarray*}$ ) eine Basis von Bild(A). Diese erweitern wir zu einer Basis $\begin{eqnarray*} \{w_1,\dots,w_k,w_{k+1},\dots,w_m\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$
und setzen d := k + 1 sowie

$\begin{eqnarray*} \tilde C w_j := \begin{cases}0 & \text{falls }\,j\ge k+1\\ e_j & \text{falls }\,j \le k\end{cases}, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ der j-te Einheitsvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ sei. Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \tilde C \end{eqnarray*}$ die geforderten Eigenschaften besitzt.

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