Schnitt abgeschlossener Mengen

21.05.2009, 13:13

aethis

Schnitt abgeschlossener Mengen

Hallo Leute, ich häng seit einiger Zeit an einer Aufgabe fest und kommt nicht mehr weiter. Wäre super, wenn ihr mir vllt einen Ansatz geben könntet, oder sagt, wo mein Denkfehler liegt.
Die Aufgabe lautet:

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} $K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}....$ \end{eqnarray*}$ nichtleerer kompakter Teilmengen $\begin{eqnarray*} $K_{j}$ \end{eqnarray*}$ eines metrischen Raumes X einen nichtleeren Durchschnitt hat.
Zeigen Sie, dass die Behauptung im Allgemeinen falsch ist, wenn die Mengen $\begin{eqnarray*} $K_{j}$ \end{eqnarray*}$ nur als abgeschlossen und nichtleer vorrausgesetz werden.

Meine Überlegungen:
- Der Schnitt kann nie leer sein, wenn $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ eine unendliche Menge ist, da man so viel abziehen wie man will, es bleiben immer noch unendlich viele Elemente übrig.

-Wenn $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilfolge ist, so bleibt trotzdem in Schnitt minimal ein Element übrig.

Kann mir jmd. schnell helfen bitte smile

Grüß

21.05.2009, 13:19

kaguya_hime

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RE: Schnitt abgeschlossener Mengen
Zum Beispiel sind die Intervalle $\begin{eqnarray*} [n,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und nichtleer.

21.05.2009, 13:41

aethis

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RE: Schnitt abgeschlossener Mengen
ja, aber es soll doch grade gezeigt werden, dass der schnitt von abgeschlossenen mengen leer sein kann.

21.05.2009, 14:24

Mathespezialschüler

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Hallo!
Die angegebenen Intervalle sind abgeschlossen und nichtleer. Ihr Schnitt ist aber leer.

Zitat:

Original von aethis
- Der Schnitt kann nie leer sein, wenn $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ eine unendliche Menge ist, da man so viel abziehen wie man will, es bleiben immer noch unendlich viele Elemente übrig.

Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst. Die Aussage ist jedenfalls falsch.

Zitat:

Original von aethis
-Wenn $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilfolge ist, so bleibt trotzdem in Schnitt minimal ein Element übrig.

Was ist denn eine endliche Teilfolge von $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ ? Und warum sollte dann mindestens ein Element übrig bleiben?

21.05.2009, 14:43

aethis

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Sorry, das verstehe dann imo nicht. Warum ist der Schnitt der angegebenen Intervalle leer? Wenn $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ = [n, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) ist, dann kann zb. die Teilmengen durch [n+1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) ) angeben. Die sind wieder nicht leer, abgeschlossen und eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ . Der Schnitt von unendlich vielen solcher Mengen ist dann doch nicht leer oder?

@ Mathespezialschüler:
1) Wieso ist die Aussage falsch? Ziehst du ein Element von unendlichen vielen Elementen ab, bleiben unendliche viele übrig oder seh ich was falsch? Und unendlich- unendlich ist nichts definiert.

2) Hab mich vertippt, ist gemeint Teilmenge.

21.05.2009, 14:54

Mathespezialschüler

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Es ist $\begin{eqnarray*} K_0=[0,\infty), K_1=[1,\infty),\ldots,K_n=[n,\infty) \end{eqnarray*}$ . Du sagst, der Schnitt sei nichtleer. Dann musst du das auch beweisen können! Gib also eine reelle Zahl an, die im Schnitt liegt (oder zeige zumindest, dass es eine gibt). Ich glaube, das wirst du nicht schaffen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von aethis
@ Mathespezialschüler:
1) Wieso ist die Aussage falsch? Ziehst du ein Element von unendlichen vielen Elementen ab, bleiben unendliche viele übrig oder seh ich was falsch? Und unendlich- unendlich ist nichts definiert.

Stelle bitte den gesamten Kontext dar, in dem deine Aussage steht. Wer sagt, dass man ein Element abzieht?

Zitat:

Original von aethis
2) Hab mich vertippt, ist gemeint Teilmenge.

Wenn $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilmenge des metrischen Raums ist und du eine Folge $\begin{eqnarray*} K_0\supseteq K_1\supseteq K_2\supseteq\ldots \end{eqnarray*}$ hast, dann kann der Schnitt wirklich nicht leer sein, das stimmt.

21.05.2009, 15:04

aethis

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hm, du sagst, man kann nicht beweisen, dass der schnitt nichtleer ist und damit ist er leer? oder wie soll ich das verstehen. muss mir verzeihen, wenn ich jetzt dumme frage stelle^^

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} K_0\supseteq K_1\supseteq K_2\supseteq\ldots \end{eqnarray*}$ . Sagen wir $\begin{eqnarray*} $K_{0}$ \end{eqnarray*}$ ist die Menge [a,b]. Wir bauen uns jetzt die Teilmenge, indem wir die grenzen [a, b/2] wählen. Es gehen also bei jeder Teilmenge Elemente "weg", aber der Schnitt wird nie leer sein.

21.05.2009, 15:20

kaguya_hime

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Zitat:

man kann nicht beweisen, dass der schnitt nichtleer ist und damit ist er leer?

Gödel hat uns bewiesen, dass man so nicht beweisen darf.^^

Aber jetzt mal zurück zum anfänglichen Problem. Ich stelle jetzt mal die Aufgabe:
Beweise oder widerlege
$\begin{eqnarray*} <br /> \bigcap_{n=1}^\infty [n,\infty) = \emptyset,<br /> \end{eqnarray*}$
und bitte glaube mir, dass Dich das in Deiner Anfangsfrage weiterbringt.

Viel Vergnügen.

21.05.2009, 15:51

aethis

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kann ich das so beweisen:

Annahme:
$\begin{eqnarray*} <br /> \bigcap_{n=1}^\infty [n,\infty) \neq \emptyset,<br /> \end{eqnarray*}$

Beweis:
Da der Schnitt nicht leer, muss eine folgende Teilmenge existieren:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n=1}^\infty [n,\infty) \supseteq [a,b] \end{eqnarray*}$
a,b sind feste elemte aus $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n=1}^\infty [n,\infty) \end{eqnarray*}$

Weil [a,b] eine Teilmenge ist, gilt:
=> b< $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
a> n , das ist aber ein Widerspruch, weil n unbeschränkt ist.

wenn das so stimmt, wäre meine frage geklärt Augenzwinkern

21.05.2009, 16:16

Mathespezialschüler

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Naja, das mit dem Intervall ist etwas umständlich und bedürfte einer weiteren Begründung.

Nimm an, der Schnitt sei nichtleer. Dann gibt es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die im Schnitt liegt. Und dann kommt der Widerspruch, wie du ihn genannt hast: Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ müsste nämlich $\begin{eqnarray*} n\leq a \end{eqnarray*}$ gelten, was aber nicht geht, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist.

21.05.2009, 16:21

aethis

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super danke euch beiden Augenzwinkern

jetzt ist das doch ein wenig klarer Augenzwinkern

gruß

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Schnitt abgeschlossener Mengen

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