Lineare Abbildung von Q^4 nach Q^3

21.05.2009, 13:34	WLO	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung von Q^4 nach Q^3 Hallo, ich muss diese Aufgabe lösen: Gibt es Lineare Abbildungen $\begin{eqnarray} \mathbb Q^4 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ zwischen den $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -Vektorräumen $\begin{eqnarray} \mathbb Q^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ , die die folgenden Vektoren $\begin{eqnarray} a_i \in \mathbb Q^4 \end{eqnarray}$ jeweils auf die angegebenen Vektoren $\begin{eqnarray} b_i \in \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ abbilden? Dann hab ich 4 vierdimensionale Vektoren a und 4 dreidimensionale Vektoren b gegeben. Mir gehts hierbei nur um das Lösungsprinzip, ich hab jetzt einen (von 4) Aufgabenteilen dieser Form gelöst, indem ich eine 3x4 Matrix über 3 lineare Gleichungssysteme berechnet habe, und geguckt, ob diese Abbildung linear ist. Dabei hab ich mich fast tot geschrieben. Gibt es eine Möglichkeit, das ganze einfacher zu lösen? Danke schonmal!
21.05.2009, 21:46	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung von Q^4 nach Q^3 Das ist noch einfach, wenn man sich der Matrizenschreibweise bedient - wurde hier schon oft diskutiert, sei $\begin{eqnarray} A_{3, 4} \end{eqnarray}$ die gesuchte Abbildungsmatrix (falls sie existiert), dann schreibe die 4 Vektoren aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q^4 \end{eqnarray}$ nebeneinander als 4 x 4 Matrix $\begin{eqnarray} U_{4, 4} \end{eqnarray}$ und die 4 Vektoren aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ nebeneinander als 3 x 4 Matrix $\begin{eqnarray} B_{3,4} \end{eqnarray}$ . Offensichtlich $\begin{eqnarray} A_{3,4} U_{4,4} = B_{3,4} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} A_{3,4} = B_{3,4} U^{-1}_{4,4} \end{eqnarray}$ . Du musst noch schauen, ob die Elemente von $\begin{eqnarray} A_{3,4} \end{eqnarray}$ auch aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein sollen (Aufgabenstellung?) und natürlich, ob die inverse Matrix $\begin{eqnarray} U^{-1}_{4,4} \end{eqnarray}$ existiert.
21.05.2009, 22:57	WLO	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... das ist ja das, was ich gemacht habe, läuft ja wieder auf je 3 LGS hinaus. Naja, wenns nicht schneller geht.. seufz

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