Ableitung

21.05.2009, 21:13

Tarsuinn

Ableitung

Hallo, hab ein kleines Problem mit einer Funktion die ich ableiten soll.

Das Prinzip und die Regeln verstehe ich, mir gehts ums vereinfachen, also falls das geht.

Hab folgende Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-13x+40}{x^{2}-x-56} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die erste bis dritte Ableitung bilden will wird das riesig da ich in der 3ten Ableitung im Zähler schon $\begin{eqnarray*} (x^{2}-x-56)^{3} \end{eqnarray*}$ habe das auszurechnen ist fast unmöglich, mach ich da was falsch?

MfG Micha

21.05.2009, 21:29

Bjoern1982

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Falsch machst du vielleicht gar nichts, es bietet sich nur eben manchmal an vorher den Term noch zu vereinfachen, z.B. durch Polynomvision oder wenn man es direkt sieht durch Linearfaktordarstellung.

21.05.2009, 21:29

Raumpfleger

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RE: Ableitung

Zitat:

Original von Tarsuinn
Hab folgende Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-13x+40}{x^{2}-x-56} \end{eqnarray*}$
MfG Micha

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-13x+40}{x^{2}-x-56} = \frac{(x - 5)(x - 8)}{(x + 7)(x - 8)} \end{eqnarray*}$

21.05.2009, 21:36

Tarsuinn

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Ok das wird es wohl gewesen sein, habe daran garnicht gedacht. Danke erstmal Augenzwinkern

24.05.2009, 18:03

Tarsuinn

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So hab mich nochmal an die Aufgabe gemacht, kurze Frage kann diesese Ableitungen jemand bestätigen?

Erste: $\begin{eqnarray*} -\frac{12}{(x+7)^2} \end{eqnarray*}$

Zweite: $\begin{eqnarray*} -\frac{24}{(x+7)^2} \end{eqnarray*}$

Dritte: $\begin{eqnarray*} -\frac{48}{(x+7)^2} \end{eqnarray*}$

Nte Ableitung: $\begin{eqnarray*} -\frac{6*2^n}{(x+7)^2} \end{eqnarray*}$

MfG

24.05.2009, 18:51

klarsoweit

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Kurze und bündig: alle Ableitungen sind falsch. Wobei die erste Ableitung "nur" einen Vorzeichenfehler hat. Es wäre auch schön, wenn du die Ableitungen in der Form f'(x) = ... usw. schreiben würdest und nicht nur einfach Terme hinschreibst.

24.05.2009, 20:51

Tarsuinn

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Ok, hab mal den weg für die zweite Ableitung aufgeschrieben, was hab ich da falsch gemacht?

Hab nach Quotientenregel abgeleitet und bei $\begin{eqnarray*} (x+7)^2 \end{eqnarray*}$ die 2 vorgezogen und $\begin{eqnarray*} (x+7) \end{eqnarray*}$ nachdifferenziert. Ableitung der 12 ist ja 0 oder ist da der Fehler?

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{(x+7)^2*0 - 12*2(x+7)*1}{(x+7)^3} \end{eqnarray*}$

hab dann gekürzt und kam zu der Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{-24}{(x+7)^2} \end{eqnarray*}$

25.05.2009, 08:15

klarsoweit

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Der Fehler ist, daß du bei der Anwendung der Quotientenregel den Nenner nicht quadrierst. smile

Im übrigen kannst du $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{12}{(x+7)^2} = 12 \cdot (x+7)^{-2} \end{eqnarray*}$ recht einfach mit der Potenzregel ableiten. Augenzwinkern

25.05.2009, 19:07

Tarsuinn

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Ja habs nochmal durchgerechnet, war ein recht dummer Fehler traurig

Danke nochmal Augenzwinkern

26.05.2009, 14:08

Tarsuinn

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Ich greife den Thread nochmal für eine andere Frage auf Augenzwinkern

Zum Thema Ableitungen, habe folgende Fuktion und soll die nte Ableitung finden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+1)*ln(x+1) \end{eqnarray*}$

Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= ln(x+1)+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{1}{(1+x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= -\frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^4(x)= \frac{2}{(1+x)^3} \end{eqnarray*}$

Daraus hab ich dann die nte Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} f^n(x)= (-1)^n\frac{(n-2)!}{(1+x)^(n-1)} \end{eqnarray*}$

Meine Frage wäre jetzt, muss die nte Ableitung nicht für alle Ableitungen passen? Denn hier wäre das erst ab $\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{1}{(1+x)} \end{eqnarray*}$ der Fall, für $\begin{eqnarray*} f'(x)= ln(x+1)+1 \end{eqnarray*}$ würde es nicht gehen?

Danke im Vorraus Freude

26.05.2009, 14:13

marioaldag

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Hi,
die n-te Ableitung anzugeben ist nicht immer bis zum 0. Grad möglich. Daher kann man die n-Te Ableitung einschränken, indem man schreibt, dass das n größer gleich 2 sein muss. Die anderen beiden Ableitungen kann man bei Bedarf dann noch gesondert aufschrieben.

Gruß

26.05.2009, 14:26

Tarsuinn

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Zitat:

Original von marioaldag
Hi,
die n-te Ableitung anzugeben ist nicht immer bis zum 0. Grad möglich. Daher kann man die n-Te Ableitung einschränken, indem man schreibt, dass das n größer gleich 2 sein muss. Die anderen beiden Ableitungen kann man bei Bedarf dann noch gesondert aufschrieben.

Gruß

Ah ok das wusste ich nicht, stimmt die denn so? Und muss man beim Ableiten des ln nicht auch angeben das es nur für x>0 gilt, oder sogar eine Fallunterscheidung machen?

26.05.2009, 14:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tarsuinn
Ah ok das wusste ich nicht, stimmt die denn so?

Ja.

Zitat:

Original von Tarsuinn
Und muss man beim Ableiten des ln nicht auch angeben das es nur für x>0 gilt, oder sogar eine Fallunterscheidung machen?

In diesem Fall muß x auf x > -1 eingeschränkt werden. Augenzwinkern

Generell werden Ableitungen nur auf dem Definitionsbereich der Funktion berechnet. Sofern die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, ist damit auch der Definitionsbereich der Ableitung geklärt.

26.05.2009, 14:43

Tarsuinn

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tarsuinn
Ah ok das wusste ich nicht, stimmt die denn so?

Ja.

Zitat:

Original von Tarsuinn
Und muss man beim Ableiten des ln nicht auch angeben das es nur für x>0 gilt, oder sogar eine Fallunterscheidung machen?

In diesem Fall muß x auf x > -1 eingeschränkt werden. Augenzwinkern

ja das Intervall der Funktion soll $\begin{eqnarray*} I(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ sein und der Entwicklungspunkt null für die Taylorreihe für die ich das eigentlich mache. Daher sollte das als Grundlage der Fehlerabschätzung passen.

MfG, und danke nochmal wird bestimmt nicht die letzte Aufgabe gewesen sein Big Laugh

26.05.2009, 15:28

Tarsuinn

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Und da war sie auch wieder die Frage Augenzwinkern

Wollte gerade zu der Funktion den Fehler abschätzen, nur bleibe ich da hängen. Hab bis jetzt das hier:

$\begin{eqnarray*} |\left[R\right]_{n}(x)| = |(-1)^{n+1} \frac{\frac{(n-1)!}{(1+\xi)^n}}{(n+1)!}| * |x^{n+1}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\left[R\right]_{n}(x)| = |1*\frac{(n-1)!*(1+\xi)^-n}{(n+1)!}| * |x^{n+1}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist betragsmäßig abgeschätzt 1

$\begin{eqnarray*} |\left[R\right]_{n}(x)| = |1*\frac{(n-1)*(1+\xi)^-n}{(n+1)}| * |x^{n+1}| \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich die Fakultäten weg haben aber da kommt das Problem, die Faktultät geht auch weg nur das störende $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ bleibt. Somit hätte ich da für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to OO} \end{eqnarray*}$ ein unendlich / unendlich, das wäre mist. könnte man das auch anders schreiben das dieses Problem wegfällt?

26.05.2009, 15:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tarsuinn
Nun wollte ich die Fakultäten weg haben aber da kommt das Problem, die Faktultät geht auch weg nur das störende $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ bleibt.

Das solltest du dir nochmal genauer anschauen. Fakultäten kürzt man nicht durch "einfaches" Weglassen des Ausrufezeichens. geschockt

26.05.2009, 19:03

Tarsuinn

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das solltest du dir nochmal genauer anschauen. Fakultäten kürzt man nicht durch "einfaches" Weglassen des Ausrufezeichens. geschockt

Aber ich könnte das doch so schreiben im Nenner und damit die Fakultät im Zähler kürzen, richtig?

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)*n*(n-1)! \end{eqnarray*}$

26.05.2009, 19:21

klarsoweit

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Genau.

26.05.2009, 20:44

Tarsuinn

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Ok dann sollte das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+\xi)^{-n}}{(n+1)n} * x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Hab dann den Bruch geteilt um besser abschätzen zu können:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+\xi)^{n}}*\frac{1}{n}*\frac{1}{(n+1)}*x^{n+1} \end{eqnarray*}$

da n gegen unendlich geht sind die beiden Brüche mit n = 0

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+\xi)^{n}}*\frac{1}{\infty}*\frac{1}{\infty}*x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Da der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ definiert ist mit 0 würde ich nun noch das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ abschätzen. Das Intervall ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}<\xi<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}<1+\xi<\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{3}{2}^{n}}*\frac{1}{\infty}*\frac{1}{\infty}*x^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{3}{2}^{n}} \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ und der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist für x<1 mit $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$
mit 0 definiert, somit wäre das Restglied 0. Hoffe das ist so verständlich.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = 0*0*0*0 = 0 \end{eqnarray*}$

MfG

27.05.2009, 08:38

klarsoweit

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Abgesehen davon, daß das formal einige Schwächen aufweist (Beispiel: der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ ist definiert mit 0), solltest du das Restglied geeignet nach oben abschätzen und nicht den Grenzwert für n gegen unendlich bilden.

Wegen $\begin{eqnarray*} 1+\xi > \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| < \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ , kann man also die folgende Ungleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{(1+\xi)^{n}} \cdot \frac{1}{n(n+1)} \cdot x^{n+1} \right| \leq \frac{1}{(\frac 1 2)^{n}} \cdot \frac{1}{n(n+1)} \cdot (\frac 1 2)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ganze noch etwas zusammenfassen. Fertig.

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