Aussagen zum Thema Integralrechnung

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Aussagen zum Thema Integralrechnung
Hallo
ich will folgende Aufabe lösen. Hab zwar schon ein paar ideen aber kann sie nicht richtig nachweisen.
Es seien I c ein Intervall und c I.Untersuche, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:
a) Ist f R(I) (Regelfunktion), so gilt F'(x)=f(x) für x I.
b) Ist f stetig auf I, so gilt F'(x)=f(x) für x I.
c) Ist f differenzierbar mit f'(x) R(I), so gilt für x I.
d) Ist f R(I) beschränkt, so ist f R(I'), wobei I' das Intervall I mit den Randpunkten ist.

Meine Überlegungen bisher:
zu b) Ich denke diese Aussage stimmt, ich weiß, wenn f an einem Punkt I stetig ist, so ist F differenzierbar an diesem Punkt und es gilt F'(x)=f(x). Deswegen müsste diese Aussage auch richtig sein, da hier ja sogar die Stetigkeit auf dem ganzen Intervall vorliegt und nicht nur an einem Punkt. Aber wie weise ich dies nach?

zu d) f kann doch sowieso nur eine Regelfunktion sein, wenn es beschränkt ist oder? ich glaube die Aussage stimmt nicht. Aber wie könnte ich hier ein Gegenbeispiel angeben?

Bei den anderen beiden bin ich mir garnicht sicher, ob sie stimmen oder nicht.
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte. Danke.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Was soll denn sein? Und wie ist eure Definition einer Regelfunktion?
imag Auf diesen Beitrag antworten »

F ist die Stammfunktion.
Definition der Regelfunktion:
Es sei und es sei , f beschränkt} Dann heißt f eine Regelfunktion, falls Treppenfunktionen auf [a,b] existieren mit von Treffenfunktionen auf existieren mit
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
F ist die Stammfunktion.

Es gibt nicht die Stammfunktion! Wenn es eine gibt, dann auch unendlich viele davon. Und wie ist das nun definiert? Als eine Stammfunktion von ? Dann würde definitionsgemäß gelten für alle , es sei denn ihr habt den Begriff "Stammfunktion" anders definiert als üblich (z.B. durch stetige Funktion, die bis auf abzählbare Teilmenge differenzierbar ist mit für alle ). Oder ist nun einfach

?

Ich gehe mal von letzterem aus. Dann kann man allein an der Formulierung der Aufgabe schon vermuten, dass a) falsch und b) richtig ist. Das ist tatsächlich so.

c) ist nur für richtig

Bei d) verstehe ich auch nicht, warum die Beschränktheit gefordert wird, aber egal. Jedenfalls stimmt die Aussage. Wenn du eine Folge von Treppenfunktionen auf hast, die gleichmäßig gegen konvergiert, wie kann man daraus eine Folge von Treppenfunktionen basteln, die auf gegen konvergiert? Denke an die Definition von Treppenfunktionen.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Ja, genauso hatten wir das definiert. Das meinte ich auch. Hatte mich wohl ein bisschen blöd ausgedrückt. Sorry.
Jetzt muss ich diese Aussagen nur noch irgendwie beweisen. d.h. zu a) und c) ein Beispiel finden, wo es nicht funktioniert.
Und bei b) und d) bweisen, dass die Aussagen stimmen.
Tu mir da irgendwie schwer.
Also zu b) hatte ich ja schon eine Idee angegeben, aber bin mir nicht sicher, ob das so reicht. Zu d) habe ich ja schon einen Tipp. Also wir hatten bei der Definition von Treppenfunktionen erwähnt, dass die Funktionswerte an den Randpunkten keine Rolle spielen. Also müsste man doch um eine Folge von Treppenfunktionen zu bekommen, die auf I gegen f konvergiert, die Randpunkte von I dazu nehmen oder?
Für c) habe ich ein Gegenbeispiel.
Nur für a) finde ich kein Gegenbeispiel.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
zu b) Ich denke diese Aussage stimmt, ich weiß, wenn f an einem Punkt I stetig ist, so ist F differenzierbar an diesem Punkt und es gilt F'(x)=f(x). Deswegen müsste diese Aussage auch richtig sein, da hier ja sogar die Stetigkeit auf dem ganzen Intervall vorliegt und nicht nur an einem Punkt. Aber wie weise ich dies nach?

Wenn ihr schon bewiesen habt, dass an einem Stetigkeitspunkt von differenzierbar mit ist, dann kannst du das natürlich jetzt einfach aus jedem Punkt aus dem Intervall anwenden.

Zitat:
Original von imag
Zu d) habe ich ja schon einen Tipp. Also wir hatten bei der Definition von Treppenfunktionen erwähnt, dass die Funktionswerte an den Randpunkten keine Rolle spielen. Also müsste man doch um eine Folge von Treppenfunktionen zu bekommen, die auf I gegen f konvergiert, die Randpunkte von I dazu nehmen oder?

Ich stelle gerade fest, dass die Aufgabe blöd gestellt ist. Dort ist ein auf gegeben und dann steht etwas von , allerdings ist auf gar nicht definiert. Ich würde deshalb einfach die Randwerte von irgendwie festsetzen, dann allen Treppenfunktionen aus der Folge an den Randpunkten jeweils den gleichen Wert zuordnen und dann ist man fertig.

Zeig mal dein Gegenbeispiel zu c)! Und zu a): Nimm dir mal eine Treppenfunktion, z.B.

.
 
 
imag Auf diesen Beitrag antworten »

zu c)
Ich habe einfach eine Funktion genommen. Diese ist differenzierbar mit und auch eine Regelfunktion, da sie stetig ist. (Wir haben bewiesen, dass stetige Funktionen Regelfunktionen sind!)
und dann ist Also kann die Aussage nur stimmen, wenn f(c)=0 ist und im Allgemeinen stimmt sie nicht.
zu a)
Ja das haben wir bewiesen, also reicht das dann so?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a): Ja, das reicht.

Zu c): Eine Funktion wie hätte es auch getan. Augenzwinkern
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenns ja stimmt! warum einfach, wenns auch schwierig geht.^^
zu a)
Wenn ich diese Treppenfunktion nehme und die Aussage anwende, funktioniert das doch hier nicht oder?:
weil ich hier die Grenzen nicht einsetzen kann und nicht integrieren kann und dann auch nie für die Ableitung des Integrals f(x) rauskommen kann oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Notation und deine Ausdrucksweise sind gerade leider nicht verständlich. Setze fest, wie ich es oben vorgeschrieben habe und rechne aus. Benutze dabei die Definition des Integrals. (Wie habt ihr das Integral definiert?)
imag Auf diesen Beitrag antworten »

wobei eine beliebige Stammfunktion ist.
und genauso habe ich das eigentlich mit dem "ersten Teil" der Funktion machen wollen. Weiß nicht wie ich das sonst notieren soll.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist die Definition einer Stammfunktion? Soll das eine stetige Funktion sein, deren Ableitung fast überall mit übereinstimmt? (Solche Einführungen der Integralrechnung finde ich nicht sehr sinnvoll, aber gut.) Dann kannst du einfach die Nullfunktion als eine Stammfunktion wählen.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube schon.
Hab das jetzt so gemacht:
Ich habe eine Funktion von R nach R mit f(t)=2t+1
Dann ist f'(t)=2

Aber mit dem Beweis der letzten Aussage d) komme ich garnicht zurecht!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
Ich habe eine Funktion von R nach R mit f(t)=2t+1
Dann ist f'(t)=2

Ich dachte, wir wären bei a) und nicht bei c)?! verwirrt

Aber ansonsten verstehe ich auch nicht, was du da oben gemacht hast. Das linke soll anscheinend eine Stammfunktion sein. Wähle doch dann rechts explizit ein und rechne das mal durch, damit man ein explizites Gegenbeispiel hat.

Zu d): Sei eine Regelfunktion auf , die auch irgendwie auf definiert ist, und seien die Randpunkte von . Dann existiert eine Folge von Treppenfunktionen , die auf gleichmäßig gegen konvergiert. Nun kannst du jedes einfach erweitern durch . Dann sind das alles immer noch Treppenfunktionen auf und die Folge konvergiert auch auf trivialerweise gleichmäßig gegen . Das haben wir aber eigentlich alles auch schon mal gesagt. Das ist jetzt nur eine Ausformulierung davon.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh sorry hatte da was total verwechselt. ja ist klar.
Also jetzt für das Beispiel dass ich für a) hatte:
Eine Stammfunktion dafür wäre ja F(x)=a (mit a E R) Jedoch ist F'(1)=0 und das ist ungleich f(1)=1 also würde die Aussage nicht stimmen. Hoffentlich ist verständlich was ich damit meine.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau so ist es. Aber wie gesagt: Du kannst bei Gegenbeispielen einfach explizit Funktionen/Zahlen angeben, indem du das genauer spezifizierst, hier z.B. ganz einfach mit .

Nun sollte alles passen. smile
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Danke für die Hilfe!!
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