Abhängigkeit von Winkel und Volumen eines Kegels

22.05.2009, 12:31

Fini

Abhängigkeit von Winkel und Volumen eines Kegels

Hallo!

Ich habe die Aufgabe bekommen aus einem Kreis einen Teil auszuschneiden (wie bei einer Torte --> ein Stück entfernen) und diesen dann zu einem Kegel zusammenzubauen. Die Frage lautet nun:
Wie hängt der Winkel des Kreisbogens mit dem Volumen des Kegels zusammen?
Und wann wird das Volumen maximal?

Gegeben sind dann immer die jeweiligen Winkel, die Seitenlänge ist konstant und das Volumen kann man messen.
Ich habe dann die Höhe und den Radius errechnet.

Ich kann mir vorstellen, wie die Funktion gezeichnet aussehen müsste

und kenne auch die Formel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\pi *g*h \end{eqnarray*}$

und bin auf diese

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi \left(r\left(1-\frac{\alpha }{360}\right)\right)^{2} *r* \sqrt{\left(1- \left(1-\frac{\alpha}{360} \right)^{2}\right)} \end{eqnarray*}$

(teils auch durch Recherche ähnlicher Beiträge von Mathe Foren) gestoßen.

Kann mir jemand sagen, ob diese Formel stimmen kann???
Ich muss diese in einem Graphen plotten, aber es funtioniert nicht unglücklich

Wer kann mir helfen?

Viele liebe Grüße
Die Fini

23.05.2009, 00:56

mYthos

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Wenn man einen Kreissektor, dessen Radius s und dessen Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha° \end{eqnarray*}$ ist, zu einem Kegelmantel [Seitenlänge s, Kegelradius r, Kegelhöhe h; -> $\begin{eqnarray*} r^2 + h^2 = s^2 \end{eqnarray*}$ ] zusammenrollt, gilt immer

$\begin{eqnarray*} s \alpha = 360r \end{eqnarray*}$

Denn der Radius des Kreissektors wird die Seitenlänge des Kegels und die Bogenlänge des Sektors wird zu dem Umfang des Basiskreises des Kegels.
Somit ist

$\begin{eqnarray*} r = \frac{s \alpha}{360} \end{eqnarray*}$

Die weitere Rechnung ergibt für das Volumen

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(\alpha) = \frac{s^3 \pi}{3} \left(\frac{\alpha}{360}\right)^2 \sqrt{1 - \left(\frac{\alpha}{360}\right)^2} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, unterscheidet sich das Ergebnis offensichtlich von deinem. Rechne also nochmals die Zwischenschritte, sodass du auf das richtige Resultat für das Volumen kommst. Plotten kannst du die Funktion erst, wenn du für die Seitenlänge s einen konstanten Wert zahlenmäßig bestimmt hast oder vorher die Funktion entsprechend so abkürzt, dass sich deren Extremstelle nicht verändert. Ausserdem wäre es bei der Funktion ratsam, den Winkel im Bogenmaß einzuführen [ $\begin{eqnarray*} \alpha \ \text{im Bogenmaß} \ = x; \ 360° = 2 \pi \end{eqnarray*}$ ].

Setze dann $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360} = \frac{x}{2 \pi} = z \end{eqnarray*}$ und berechne das Extremum für die abgekürzte Funktion

$\begin{eqnarray*} V(z) = z^2 \sqrt{1 - z^2} \end{eqnarray*}$

Funktion geplottet für $\begin{eqnarray*} \frac{s^3 \pi}{3} = 1 \ \text{und} \ x' = \frac{x}{2 \pi} \end{eqnarray*}$

mY+

23.05.2009, 04:16

Rechenschieber

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Was läuft hier im Moment, wenn ich fragen darf?
Werner und ich haben uns über die Volumenformel für den Kegel in dem anderen Thread extra schlau gemacht und hier taucht dieselbe falsche Formel wieder auf.
Und dies für dieselbe Aufgabenstellung.

1/3 Pi * G * h 1st falsch.

Werner hat an dieser Aufgabe extra "hart" gearbeitet.

Max Volumen Kreiskegel mit Alpha

LGR

23.05.2009, 09:38

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Wenn man einen Kreissektor, dessen Radius s und dessen Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha° \end{eqnarray*}$ ist, zu einem Kegelmantel [Seitenlänge s, Kegelradius r, Kegelhöhe h; -> $\begin{eqnarray*} r^2 + h^2 = s^2 \end{eqnarray*}$ ] zusammenrollt, gilt immer

$\begin{eqnarray*} s \alpha = 360r \end{eqnarray*}$

Denn der Radius des Kreissektors wird die Seitenlänge des Kegels und die Bogenlänge des Sektors wird zu dem Umfang des Basiskreises des Kegels.
Somit ist

$\begin{eqnarray*} r = \frac{s \alpha}{360} \end{eqnarray*}$

Die weitere Rechnung ergibt für das Volumen

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(\alpha) = \frac{s^3 \pi}{3} \left(\frac{\alpha}{360}\right)^2 \sqrt{1 - \left(\frac{\alpha}{360}\right)^2} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, unterscheidet sich das Ergebnis offensichtlich von deinem. Rechne also nochmals die Zwischenschritte, sodass du auf das richtige Resultat für das Volumen kommst. Plotten kannst du die Funktion erst, wenn du für die Seitenlänge s einen konstanten Wert zahlenmäßig bestimmt hast oder vorher die Funktion entsprechend so abkürzt, dass sich deren Extremstelle nicht verändert. Ausserdem wäre es bei der Funktion ratsam, den Winkel im Bogenmaß einzuführen [ $\begin{eqnarray*} \alpha \ \text{im Bogenmaß} \ = x; \ 360° = 2 \pi \end{eqnarray*}$ ].

Setze dann $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{360} = \frac{x}{2 \pi} = z \end{eqnarray*}$ und berechne das Extremum für die abgekürzte Funktion

$\begin{eqnarray*} V(z) = z^2 \sqrt{1 - z^2} \end{eqnarray*}$

Funktion geplottet für $\begin{eqnarray*} \frac{s^3 \pi}{3} = 1 \ \text{und} \ x' = \frac{x}{2 \pi} \end{eqnarray*}$

mY+

ist ja schön, wenn wir uns wieder einmal einig sind smile

siehe den link von rechenschieber

23.05.2009, 15:28

mYthos

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Ich habe leider nicht gesehen, dass Fini dieselbe Frage an einen 5 Jahre alten Beitrag angehängt hatte.

@Fini: Über den Doppelpost: *** Not Amused! ***

Der alte Beitrag wird geschlossen.

Falls noch erforderlich, bitte hier weitermachen!

mY+

24.05.2009, 19:59

Fini

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Hallo an alle!

Entschuldigung, aber ich bin neu hier und wusste nicht genau
wo ich nun meine Frage stellen sollte.
Aber durch Eure Antworten komme ich jetzt weiter!

Danke für Eure Mühe

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Abhängigkeit von Winkel und Volumen eines Kegels

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