Partielle Ableitung - Wärmeleitungsgleichung

22.05.2009, 12:54

Lisa86

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Partielle Ableitung - Wärmeleitungsgleichung

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu einer Hausaufgabe und zwar steht da folgendes:

Die Gleichung der Wärmeleitung in der x - y - Ebene lautet $\begin{eqnarray*} \frac{del f}{del t} = \frac{del² f}{del x²} + \frac{del² f}{del y²} \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass f(x, y, t) = exp(-2t) * sin(x) * sin(y) eine Lösung.

So, ich denke, dass ich hier die partielle Ableitung bilden muss, aber was hat die Wärmeleitunggleichung hier denn verloren? ...ich sitze aufm Schlauch :\

22.05.2009, 12:57

Cordovan

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Die Aufgabe lautet einfach: überprüfe, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{eqnarray*}$ von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x, y, t) = \exp(-2t) \cdot \sin(x)\cdot\sin(y) \end{eqnarray*}$ erfüllt wird.

Cordovan

22.05.2009, 15:38

Lisa86

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Wie überprüfe ich das denn smile

smile

?

22.05.2009, 21:33

Cordovan

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Berechne zuerst mal $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t} \end{eqnarray*}$ . Was kommt da raus?

Cordovan

24.05.2009, 17:03

Lisa86

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hallo!

also bei df/dt gibt es doch nichts zu berechnen (hoffe ich). da bleibt exp(-2t) * sin(x) + sin(y) stehen. und nun?

24.05.2009, 17:25

Lisa86

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also...

ich habe nun auch die ableitungen von $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ gebildet aber das ist doch auf keinen fall $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dt} = \frac{d²f}{dx²} + \frac{d²f}{dy²} \end{eqnarray*}$ ... irgendwas hab ich wohl falsch verstanden unglücklich

unglücklich

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24.05.2009, 17:29

Lisa86

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hab vergessen hinzuschreiben...

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = exp(-2t) * cos(x) * sin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = exp(-2t) * sin(x) * cos(y) \end{eqnarray*}$

hilft mir halt nicht weiter unglücklich

unglücklich

24.05.2009, 17:54

Cordovan

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Zitat:

also bei df/dt gibt es doch nichts zu berechnen (hoffe ich).

Klar gibt es das! Du tust so, als würde die Funktion nur von t abhängen. Also leite mal die Funktion
$\begin{eqnarray*} t\mapsto c_1\cdot c_2\cdot \exp(-2t) \end{eqnarray*}$ (mit Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ ) ab.

Cordovan

24.05.2009, 18:20

Lisa86

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= -2*exp(-2t) * c1 * c2

so... was geschieht als nächstes?

24.05.2009, 18:40

Cordovan

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So, jetzt ist in diesem Fall halt $\begin{eqnarray*} c_1=\sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2=\sin y \end{eqnarray*}$ , Du hast damit $\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial t}f(t,x,y) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Deine beiden ersten Ableitungen oben sind richtig. In der Formel ist aber nach den zweiten Ableitungen gefragt. Berechne also die auch noch!

Cordovan

24.05.2009, 20:44

Lisa86

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aaaaaaah danke, jetzt geht mir ein licht auf smile

smile

!

ich dachte d²/dy² hieße d²/(dy*dy) usw...! deshalb kam mir das alles so spanisch vor... aber es ist ja nichts anderes als die zweite ableitung... smile

smile

24.05.2009, 23:28

Lisa86

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hmmmmmmmmmmm, ich komme immer noch nicht auf die lösung...

als zweite ableitung hab ich ja raus:

d²f/dx² = -exp(-2t) * sin(x) * sin(y) und für d²f/dy² das gleiche... und d²f/dx² + d²f/dy² ergibt 0 und ist damit nicht = df/dt unglücklich

unglücklich

wo habe ich wieder einen denkfehler?

25.05.2009, 07:09

Cordovan

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Wenn bei beiden Ableitungen das gleiche herauskommt (was stimmt Freude

Freude

), dann können sie in der Summe nicht Null ergeben! Rechne das nochmal nach.

Cordovan

25.05.2009, 12:56

Lisa86

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hehe danke, hab den fehler gestern noch entdeckt... minus + minus ist nicht gleich 0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

!

nun hat die aufgabe noch einen zweiten teil wobei ich auch nicht ganz weiss, was zu tun ist... folgendes ist gefragt:

Für welchen Exponenten in $\begin{eqnarray*} f = exp(?) * sin(x) * sin(y) \end{eqnarray*}$ ist f eine Löstung. Hier steht ? für eine Funtkion, die lediglich von t abhängt.

Im Prinzip ist es ja nichts anderes als im ersten Teil(dachte ich). Deshalb habe ich wieder d²f/dx² und d²f/dy² gebildet...

$\begin{eqnarray*} dx²f = -exp(?) * 4sin(2x) * sin(3y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy²f = -exp(?) * sin(2x) * 9sin(3y) \end{eqnarray*}$

aber iwie hilft mir das bei der suche des exponenten doch nicht weiter unglücklich

unglücklich

kleinen tipp für mich parat smile

smile

?

25.05.2009, 12:59

Lisa86

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oh sorry, habe in der fragestellung die Funktion falsch hingeschrieben...

$\begin{eqnarray*} f=exp(?)*sin(2x)*sin(3y) \end{eqnarray*}$

25.05.2009, 13:36

Cordovan

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OK, dann berechne doch mal $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t} \end{eqnarray*}$ und behandele ? als eine unbekannte, von t abhängige Funktion. Setze dann in die Wärmeleitungsgleichung ein und schau, was gelten muss.

Cordovan

25.05.2009, 13:59

Lisa86

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öhm ok, ich versuchs mal...

$\begin{eqnarray*} df/dt= ?exp(?t) * sin(2x) * sin(3x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ?exp(?t) * sin(2x) * sin(3x) = d²f/dx² + d²fdy² \end{eqnarray*}$

aber egal welche zahl ich für "?" einsetzen würde, würde es die gleichung niemals erfüllen... hmm

25.05.2009, 15:56

Cordovan

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Da steht jetzt plötzlich etwas anderes als vorher.

Steht in der Exponentialfunktion irgendeine Funktion ?, oder steht dort ?*t, wie du es jetzt in deinem neuen Beitrag gemacht hast?

Cordovan

25.05.2009, 22:19

Lisa86

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hey, habe meinen fehler gefunden und die aufgabe gelöst smile

smile

danke

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