Norm auf R

22.05.2009, 15:51

schmouk

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Norm auf R

Hi, it's me again,

Sei $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ doch einfach $\begin{eqnarray*} \vert x\vert \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Schmoo

22.05.2009, 16:37

klarsoweit

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RE: Norm auf R
Das ist nicht zwingend gesagt. Es könnte beispielsweise auch $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert = 2 |x| \end{eqnarray*}$ sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2009, 16:38

schmouk

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wie das?

22.05.2009, 16:44

klarsoweit

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Was muß denn eine Norm definitionsgemäß erfüllen?

22.05.2009, 17:42

schmouk

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naja

$\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert >0, x\neq 0, \Vert x\Vert =0, x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Vert cx\Vert =\vert c\vert\Vert x\Vert \end{eqnarray*}$
und Dreicksungl.

Dann geh ich hin und sag, gut, die Betragsnorm muss auch $\begin{eqnarray*} \vert cx\vert \end{eqnarray*}$ erfüllen. also doch auch $\begin{eqnarray*} \vert c\vert \vert x\vert \end{eqnarray*}$

und mach ich das deshalb, weil ich theoretisch aus dem x in $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ immer eine Konstante c ausklammern kann, und sei es im Notfall die 1, so dass ich $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ immer als $\begin{eqnarray*} \Vert cx\Vert \end{eqnarray*}$ schreiben kann? Und das dann bei einer Norm auf K halt immer als $\begin{eqnarray*} \vert c\vert \vert x\vert \end{eqnarray*}$ und so auch als $\begin{eqnarray*} c \vert x\vert \end{eqnarray*}$ mit der Einschränkung auf $\begin{eqnarray*} c\geq 0 \end{eqnarray*}$ ?
Woraus folgt, dass es zu der Norm auf K als Betragsnorm immer einen Koeffizienten mit min. 1 geben muss, die 0 ist zu vernachlässigen weil durch erste Eigenschaft der Norm abgedeckt??
Schmo

22.05.2009, 18:05

Mathespezialschüler

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Kannst du dich bitte so klar ausdrücken, dass man es auch versteht. Ganz ehrlich: Ich habe von deinen Ausführungen fast nichts verstanden. Wie können nicht erahnen, was in deinem Kopf passiert, du musst es uns schon so darstellen, dass wir es auch verstehen. Also was betrachtest du? Wo willst du etwas ausklammern? Was hat das mit der Eins zu tun und was meinst du mit "min 1" usw.?

Danke.

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23.05.2009, 19:53

schmouk

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Naja. Hast ja recht. Ich tu mein bestes.

So. Dann hab ich aber mal eine Frage allgemein: Was macht eine Norm eigentlich lich mit dem Raum. Im Behrends steht, die Norm ist gewisser maßen eine Verallgemeinerung desssen, was der Btrag in IR ist.

Okay, dann habe ich eine Abbildung, die von einem Vektrorraum in den R abbildet, auf R+ und den ganzen Eigenschaften einer Norm eben.
Aber was ist dann? Vor allem, mein ich gelesen zu haben, dass ein normierter KVR auch immer ein metrischer Raum ist.

Was mit dem Raum passiert, wenn ich eine Metrik darauf definiert habe, ist mit klar. Ich kann Abstände bestimmen. Aber kann ich zwei Metriken in einem Raum geben? Wohl eher nicht, den zwei "Zahlen" im selben Raum werden doch immer den selben Abstand zueinander haben.

Was geschieht mit einem Raum, wenn auf ihm eine Norm definiert ist?

Zurück zum Problem:

(Versuch I)
1. \Vert x\Vert sei eine Norm.
Ann. Es existiert eine Konstante c>0, so dass $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert=c\vert x\vert, \forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Bew. c fest mit c>0 => c=|c| also $\begin{eqnarray*} c\vert x\vert=\vert c\vert\vert x\vert=\vert cx\vert \end{eqnarray*}$
Dann muss $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto c\vert x\vert \end{eqnarray*}$
Dann ist Eigenschaft (i) der Norm erfüllt weil $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert=0 \end{eqnarray*}$ wenn x=0 ansonsten wegen $\begin{eqnarray*} \vert cx\vert \end{eqnarray*}$ immer größer 0.
(ii) ok, weil eben $\begin{eqnarray*} \vert c\vert\vert x\vert=\vert cx\vert \end{eqnarray*}$
und (iii), dreiecksungl. für beträge gilt.

(Versuch II)
1. Angenommen es ex. $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert:X\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit X IK-VR.
Dann ist das schonmal für mich nicht nachvollziehbar, warum man von einer Norm über IK
reden kann. Aber wurscht.

2. Im Behrends steh dann, auf IR ist x->|x| eine Norm. Also nehm ich hin, X kann auch einfach IK sein.
Sei also X=IR, $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Setze x=c*a

3. Kann ich ja machen, denn zumindest als x=1*a mit a=x kann ich machen. Ist x ein Term, kann ich mindestens die eins ausklammern. Naja, ich denke an dieser Stelle ist klar, was ich mein.

4. also $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert =\Vert ca\Vert =\vert ca\vert =\vert c\vert\vert a\vert \end{eqnarray*}$

Also ist auch $\begin{eqnarray*} c\vert a\vert \end{eqnarray*}$ immer eine Norm. Aber damit ist nicht gezeigt, dass auch c|x| eine Norm. Ich finde Versuch I vielversprechender.

Nicht?! unglücklich

unglücklich

23.05.2009, 22:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von schmouk
Aber was ist dann? Vor allem, mein ich gelesen zu haben, dass ein normierter KVR auch immer ein metrischer Raum ist.

Ja, das stimmt. In einem metrischen Raum hat man eine Abstandsfunktion auf einer beliebigen Menge. Ein Vektorraum hat einen Nullvektor und eine Norm auf einem Vektorraum gibt für jeden Vektor die Länge dieses Vektors, d.h. den Abstand zum Nullpunkt an.

Dabei kann die Norm-/Abstandsfunktion irgendwie definiert sein, Hauptsache sie erfüllt die Eigenschaften einer Norm.

Deshalb kann es auch mehrere Metriken und Normen auf dem gleichen Raum haben. Es gibt z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ einen Abstand, der dir intuitiv sinnvoll vorkommt, das ist der euklidische Abstand. Aber es gibt auch noch ganz andere Abstände. Das ist dann eben ein anderer Abstandsbegriff, als du ihn gewohnt bist. Z.B. könnte ich sagen, dass die Länge eines Punktes im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die Summe der Beträge der beiden Koordinaten ist. Das ist auch eine Norm, denn sie erfüllt die Normeigenschaften! Und diese Normen sind sogar oftmals sehr sinnvoll. Wenn du dir eine Stadt mit nur "waagerechten" und "senkrechten" Straßen vorstellst (ein Gitter), z.B. kommt Manhattan dem recht nahe, dann wird der Abstand von einer "Ecke" zu einer anderen "Ecke" gerade durch das beschrieben, was ich gerade angegeben habe. Deshalb nennt sich diese Metrik auch Manhatten-Metrik bzw. Taxi-Metrik. Und so gibt es noch sehr viele weitere Normen!

Zitat:

Original von schmouk
Was geschieht mit einem Raum, wenn auf ihm eine Norm definiert ist?

Nichts geschieht mit ihm, er erhält nur eine weitere Struktur, mit der man dann alles machen kann, was man mit Metriken auch machen kann, teilweise aber noch mehr, weil Metriken auf beliebigen Mengen definiert sind, Normen aber nur auf Vektorräumen. Und in Vektorräumen kann man die Punkte addieren und mit Skalaren mulitplizieren u.Ä..

Zitat:

Original von schmouk
1. \Vert x\Vert sei eine Norm.
Ann. Es existiert eine Konstante c>0, so dass $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert=c\vert x\vert, \forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Bew. c fest mit c>0 => c=|c| also $\begin{eqnarray*} c\vert x\vert=\vert c\vert\vert x\vert=\vert cx\vert \end{eqnarray*}$
Dann muss $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto c\vert x\vert \end{eqnarray*}$
Dann ist Eigenschaft (i) der Norm erfüllt weil $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert=0 \end{eqnarray*}$ wenn x=0 ansonsten wegen $\begin{eqnarray*} \vert cx\vert \end{eqnarray*}$ immer größer 0.
(ii) ok, weil eben $\begin{eqnarray*} \vert c\vert\vert x\vert=\vert cx\vert \end{eqnarray*}$
und (iii), dreiecksungl. für beträge gilt.

Sorry, aber du drückst dich immer noch unglücklich aus. Was willst du denn zeigen?

1. Willst du zeigen, dass für ein $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x\|:=c|x| \end{eqnarray*}$ eine Norm ist? Dann schreib deine Behauptung auch hin, damit man weiß, was du in "Bew." eigentlich beweisen willst.

Zitat:

Original von schmouk
(Versuch II)
1. Angenommen es ex. $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert:X\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit X IK-VR.
Dann ist das schonmal für mich nicht nachvollziehbar, warum man von einer Norm über IK
reden kann. Aber wurscht.

Was ist für dich nicht nachvollziehbar? Was soll denn $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ sein? Ein beliebiger Körper oder ist das eingeschränkt?

Zitat:

Original von schmouk
2. Im Behrends steh dann, auf IR ist x->|x| eine Norm. Also nehm ich hin, X kann auch einfach IK sein.

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann ein beliebiger $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum sein, insbesondere auch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ selbst (denn das ist auch ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum!)

Zitat:

Original von schmouk
3. Kann ich ja machen, denn zumindest als x=1*a mit a=x kann ich machen. Ist x ein Term, kann ich mindestens die eins ausklammern. Naja, ich denke an dieser Stelle ist klar, was ich mein.

Ich verstehe nicht, was du meinst und worauf du hinaus willst.

Zitat:

Original von schmouk
4. also $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert =\Vert ca\Vert =\vert ca\vert =\vert c\vert\vert a\vert \end{eqnarray*}$

Also ist auch $\begin{eqnarray*} c\vert a\vert \end{eqnarray*}$ immer eine Norm. Aber damit ist nicht gezeigt, dass auch c|x| eine Norm. Ich finde Versuch I vielversprechender.

verwirrt

verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} c|a| \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl und keine Norm. Ich weiß jetzt nicht, wo der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

Tut mir wirklich leid, aber einige von deinen Gedankengängen kann ich einfach nicht nachvollziehen.

23.05.2009, 22:49

schmouk

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Die Aufgabe AUF DEM BLATT LAUTET: Zeigen Sie: sei $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ eine Norm auf R. Dann existiert eine Konstante c>0, so dass $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert=c\vert x\vert,\forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Mensch was anderes formulier ich doch hier auch nich. Das ist mal wieder eine von 5 Aufgaben, die erste, mit den wenigsten Punkten. Naja.

So, und jetzt schreib ich nich nochmal alles auf. Endweder hilfst du mir netterweise so, oder eben nicht. Irgendwo is auch schluss.

23.05.2009, 23:08

Ungewiss

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Schau doch mal, was für c gelten müsste, vorausgesetzt, es würde existieren:

$\begin{eqnarray*} \| x\|=c|x| \Rightarrow \frac{\| x\|}{|x|}=c\quad \text{für }x\neq 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ eine Norm ist, kannst du den Bruch noch anders schreiben.

Keine Gewähr auf Verwendbarkeit meines Ansatzes Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.05.2009, 23:28

schmouk

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Ganz ehrlich, ich wüsste nicht wie ich die Norm anders schreiben könnte. sags mir.

23.05.2009, 23:32

Ungewiss

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Meine Idee wäre noch die Homogenität auszunutzen und, dass
$\begin{eqnarray*} |x|=\begin{cases}x&\text{falls } x\geq0\\-x&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

23.05.2009, 23:34

Mathespezialschüler

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Ich dachte bisher die ganze Zeit, du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \|x\|=c|x| \end{eqnarray*}$ eine Norm ist, wenn du sie so definierst. Mehr hast du in deinem Beweis oben nämlich auch nicht gezeigt. Und du hast vorher auch nie die Aufgabe hingeschrieben. Jetzt ist es wenigstens klar.

Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x|} \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl und dann kannst du nach den Norm-Rechenregeln

$\begin{eqnarray*} \frac{\|x\|}{|x|}=\frac{1}{|x|}\cdot \|x\|=\left\|\frac{1}{x}\cdot x\right\| \end{eqnarray*}$

schreiben.

24.05.2009, 13:06

schmouk

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Ich bin euch ja dankbar. Und peinlich ist es mir auch mittlerweile. Aber jetzt weiß ich also dass c=1 und jetzt? Das ist jetzt mein höchst unbefriedigendes Ergebnis? c gleich Eins?! Was sagt mit das? Ich verstehe die Aussage der Schlussfolgerung nicht!

Ausserdem steht in der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
und nicht für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich bin eigentlich noch immer eher dazu geneigt, zu zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} c\vert x\vert \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

24.05.2009, 13:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von schmouk
Ich bin eigentlich noch immer eher dazu geneigt, zu zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \Vert x\Vert \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} c\vert x\vert \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Das hat doch aber nichts miteinander zu tun! $\begin{eqnarray*} c|\cdot | \end{eqnarray*}$ ist immer eine Norm, unabhängig davon was mit $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ ist! Wo ist denn da der Zusammenhang?

Und nein, es folgt nicht, dass da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ rauskommt, es kommt $\begin{eqnarray*} \|1\| \end{eqnarray*}$ heraus, aber das muss nicht Eins sein! Das ist nur beim Betrag so. Das soll nur zeigen, welche Konstante du wählen könntest. Dass die Gleichung dann trotzdem für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt, sieht man im Nachhinein. Das ist also grad nur der Lösungsweg. Ordentlich aufgeschrieben sähe die Lösung am Ende so aus:

Sei $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c:=\|1\| \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \|x\|=\|x\cdot 1\|=|x|\cdot \|1\|=|x|\cdot c \end{eqnarray*}$ .

Verstehst du jetzt, was wir meinten?

24.05.2009, 13:33

schmouk

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Ich glaub ich habe einfach immer noch nicht akzeptiert, dass es das ziel ist, mit einer kette von gleichheiten zur zu zeigenden gleichung zu kommen.

naja, punkt.

Vielen dank (vor allem für die Geduld). Und es geht weiter mit Aufgabe zwei im neuen Thread Prost

Prost

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