3 Reihen divergent oder konvergent?

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Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »
3 Reihen divergent oder konvergent?
Hallo zusammen. Ich hab folgendes Problem:
bei den folgenden 3 Reihen soll ich entscheiden ob sie konvergent sind, und wenn ja, dann absolut oder bedingt (wobei die Art der Konvergenz kein Problem darstellt).

Aufgabenstellung: Entscheiden Sie, für welche folgende Reihen, bzw uneigentlichen Integrale bedingt und absolut konvergent sind.

a)

b)

c)

Das p kommt zwar nur meim letzten vor, aber dennoch hab ich keine Ahnung. Ich hab alle möglichen Kriterien durchprobiert. Vllt kennt ja einer von euch eins das ich anwenden kann.


mfg, Sam
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihe b) (die allerdings erst ab Index n=2 beginnen darf Augenzwinkern ) ist divergent, genauer gesagt bestimmt divergent gegen . Betrachte dazu einfach die Partialsummen



mit geradem Index :

.

Mit geeigneten Abschätzungen des Summengliedes wirst du erkennen, dass das Konvergenzverhalten dieser Reihe der harmonischen Reihe entspricht.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Die Divergenz der Reihe in b) bekommt man durch Betrachten der Partialsummen, speziell der Partialsummen , indem man immer zwei Glieder zusammenfasst. Im Übrigen darf die Reihe nicht bei anfangen, da der Summand dort nicht definiert ist.

Dass a) nicht absolut konvergiert, sieht man so: Die Folge kommt jeder beliebigen Zahl aus beliebig nahe (Boardsuche!), insbesondere gibt es eine Folge natürlicher Zahlen mit . Was folgt daraus?

Bei c) sieht man die Divergenz für sofort. Du könntest mal substituieren und danach partiell integrieren.

edit: Ein wenig zu langsam für die b) ...
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

jahaaaa xD ich hab mich verschrieben. bei n=2 soll se auch beginnne... die bei b)
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar jungs... habs denk ich mal gerafft... danke für die schnell hilfe Big Laugh weitere aufgaben werden folgen xD
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, der Name des Kriteriums ist mir entfallen, aber es ging etwa so:

Zitat:
Ist eine Reihe mit beschränkten Partialsummen und eine monoton fallende Nullfolge, so ist konvergent.

Das Leibnizkriterium kann man als Spezialfall dieser Formel auffassen.

Das könnte man auf a) anwenden mit und .
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das nennt sich Dirichletsches Kriterium. Augenzwinkern

Ich hatte daran auch schon gedacht und ich wusste auch, dass dieses Kriterium greift, wenn dort nicht gestanden hätte. Allerdings war ich zu faul, die nötigen Partialsummen mit dem nochmal auszurechnen. Aber es scheint tatsächlich zu funktionieren. Freude
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

das von dirichlet hab ich voll überlesen... jetzt gilt es nur noch zu zeigen, dass was die partialsummen angeht beschränkt ist... da steh ich noch bissi aufm schlauch... o.O
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das so machen: Es gilt



und somit hat man

.

Die erste Summe ist beschränkt. Die zweite Summe kann man explizit ausrechnen, z.B. indem man den Cosinus mithilfe der komplexen Exponentialfunktion umschreibt und ein bisschen mit geometrischen Summen rumrechnet.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Das nennt sich Dirichletsches Kriterium. Augenzwinkern

Danke. Augenzwinkern

Ist ein generelles Problem bei mir: Gutes Gedächtnis für mathematische Zusammenhänge, aber ein schlechtes für zugehörige Namen. Big Laugh
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

ich werds mal ausprobieren... thx...
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

ich kriegs ums verrecken net hin... könnte der nette herr, der sagt sei beschränkt mir mal bitte die lösung schreiben... ich raffs net xD
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da der "nette Herr" gerade anscheinend nicht online ist, erlaube ich mir die genauere Ausführung seiner Idee:



So aufbereitet kannst du jetzt rechts die Partialsummenformel der geometreischen Reihe



für bzw. anwenden. Dass die entstehenden Ausdrücke dann beschränkt bzgl. sind, ist dann wirklich nicht mehr schwer zu sehen.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

ok xD ich versuchs xD ich bin manchmal bissl begriffsstutzig... ^^:P
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

also das für anzuwenden is popelig xD aber das mit is scho bissl schwieriger... ich bekomm dann halt raus für m ungerade und für m gerade... kann das sein und kann ich daraus sagen, dass das ding beschränkt ist? Big Laugh also ich denke: JA xD aber aber ^^ darf ich danach aufhören? XD
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das dürfte stimmen, du kannst es aber auch einfach als schreiben. Die Beschränktheit kannst du ja noch zeigen, indem du den Betrag dieses Terms mithilfe der Dreiecksungleichung abschätzt.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich die auch durch ihren absolutbetrag abschätzen? weil der ist ja dann ? geht das? weil dann bekomm ich auf jeden fall ne wahre aussage xD
also nach anweden der dreiecksungl. dann komm ich auf
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das im Nenner kann man nicht so abschätzen, denn man will ja eine Abschätzung nach oben für den ganzen Bruch. Ich würde es so machen: Die Konstante ist wegen positiv (sonst hätte man die ganze Rechnung auch gar nicht machen dürfen), also ist

.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

yeeeeeeeeeha xD baaaaaam xD ich danke euch jungs =) jetzt hab ichs glaub ich gerafft... muss nur noch richtig verstehen, warum ist...
bzw... kann ich sagen wenn ich nur den REALTEIL betrachte... dass das dann der fall is? weil ich hab ja im prinzip nur ne reelle folge?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Gleichung stand ja nie da. Mehr als hat Arthur ja auch nicht behauptet.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

das mein ich ja auch xD wie kommt man auf diese identität? weil mir fällt schwer es nur zu akzeptieren ^^ ich will wiesen WIESO...
aber iwie macht es sinn... ich will ja nur den realteil haben...
AAAAAAAAAAAH ich habs gerafft... einheitskreis in der komplexen zahlenebene xD hat sich erledigt Big Laugh
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

was ich noch net so schaff isch die b) abzuschätzen... das krieg ich noch net so ganz hin...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summanden in der Summe sind positiv und für sie gilt

.

Den Nenner musst du jetzt nach unten abschätzen, sodass am Ende etwas der Form "Konstante mal " herauskommt.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

habs anderst lösen können =) passt ^^ sodele xD fehlt nur noch das mistige integral Big Laugh
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du bei dem Integral schon mal die vorgeschlagene Substitution ausgeführt?
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich gemacht, aber iwie funktionierts net... zumindest krieg ich es net hin unglücklich
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss halt ne fallunterscheidung machen...


und
das mach ich grade

und ich glaub ich komme zu dem entschluss für konvergiert das ding? kann das sein?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sollte stimmen.
Sam Al Knödl Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt muss ichs nur noch schaffen das esplizit zu zeigen...
und das kann ich aber beliebig oft partiell integrieren und bekomm dann nen endlos langen term... maja morgen gehts weiter xD bin müde Big Laugh n8 xD
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