orthogonales Komplement

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sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonales Komplement
Hallo,

soll folgende Aufgabe lösen,

[attach]10610[/attach]

probiere jetzt schon seit einer Stunde die Aufgabe zu lösen und komme auf keinen grünen Zweig.
Kann mir bitte mal jemand einen Tipp geben wie ich anfagen soll...

Danke
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt es denn, dass eine orthogonale Abbildung ist? Benutze diese Definition und zeige dann:

1. Für gilt .

2. Für gilt .

Dann bist du fertig. Bei welchem dieser Schritte hast du Probleme?
sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »
Re
@Mathespezialschüler

also wenn eine orth. Abbildung ist, dann ist die dazugehörige Matrix orthogonal , weiter ist .

Wie soll ich das bei:

Für gilt . umsetzen ???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Setze die Definitionen ein. Was bedeutet ? Was musst du für zeigen?

Die Gleichung ist die, die du nutzen musst. Matrizen lassen wir dabei mal aus dem Spiel. Im Übrigen gibt es nicht "die dazugehörige Matrix". Man kann einer linearen Abbildung "dazugehörige Matrizen" zuordnen und unter bestimmten Voraussetzungen sind diese auch eindeutig, aber das musst du dann auch dazu sagen.
sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedutet ,

für müsste ich zeigen (steht ja in der Aufgabenstellung ) und

,
sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mathespezialschüler

Wo soll ich die Definition einsetzen ?? Hab glaube immer noch ein "Brett vor dem Kopf ", die Aufgabe macht mich ganz "kirre" böse
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sabine38
für müsste ich zeigen

Nein. Sei , d.h. für alle . Du musst zeigen, dass dann gilt, d.h. für alle .
sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mal ein Versuch

es gilt , d.h.

da

somit wäre 1. gezeigt, richtig ???


Zu 2. Für gilt .

Sei , d.h. für alle jetzt müsste ich zeigen für alle .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. stimmt nicht ganz. Du hast jetzt nur gezeigt, dass für alle gilt. Du musst noch begründen, warum das die Behauptung impliziert. Du hast also gezeigt, dass zu allen Vektoren aus orthogonal ist. Daraus folgt aber auch, dass zu allen Vektoren aus orthogonal ist, weil ist. Das ist der Teil, der noch fehlte. Man könnte es auch so aufschreiben:

Sei . Für ein beliebiges existiert nach Voraussetzung ein mit und es folgt

.

Zum zweiten: Es gilt doch

.

Warum ist der letzte Ausdruck Null?

(Und warum ist eigentlich eindeutig bestimmt?)
sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Danke für die Hilfe jetzt ist mir manches klar geworden.

Der letzte Ausdruck ist Null, da gilt: und es existiert nach Voraussetzung ein mit

Warum eindeutig bestimmt ist kann ich nicht sagen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sabine38
Der letzte Ausdruck ist Null, da gilt: und es existiert nach Voraussetzung ein mit

Das stimmt, aber das ist zu kompliziert formuliert. Nach Voraussetzung ist einfach ein Element von . Die Formulierung mit der Existenz von ist überflüssig.

existiert und ist eindeutig bestimmt, weil bijektiv ist. Jetzt müsstest du mir nur noch erklären, warum eine orthogonale Abbildung eines endlich-dimensionalen Vektorraums bijektiv ist.
sabine38 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist erstmal injektiv, da bei einer orth. Abildung die Norm erhalten bleibt.( man könnte auch sagen die

Matrix A die die lineare Abbildung beschreibt ist orthogonal=> RangA = Spaltenzahl von A => Injektivität).

weiter ist V endlichdimensional => Bijektivität

Danke für die Hilfe Freude
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt 2. von Mathespezialschüler ist meines Erachtens nicht zu beweisen. Nur der Punkt 1.

@sabine: Du musst bei Punkt 1. noch die Beziehung f(U) = W mit einbeziehen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Webfritzi
Für die Mengengleichheit sind doch zwei Inklusionen zu zeigen. Warum sollte also der zweite Punkte wegfallen? Sicher kann man die Inklusion auch anders zeigen, aber wie das passiert, ist dabei ja unerheblich.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
die Mengengleichheit


Wie gesagt ist IMHO aus dem Text zu entnehmen, dass nur die Inklusion



gezeigt werden muss. Dort steht nichts von "surjektiv" o.ä. Es kommt halt darauf an, wie man "auf eine Menge abbilden" interpretiert.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok so meinst du das. Ich habe es so gelernt, dass das Wort "auf" ganz explizit die Surjektivität beschreibt, während man bei eventueller Nichtsurjektivität nur "in" schreiben würde. Ich denke, das ist auch relativ allgemein so anerkannt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein. Augenzwinkern
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