Fläche eines Rotationsellipsoides - Vergleich v. Lösungen

22.05.2009, 19:45	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche eines Rotationsellipsoides - Vergleich v. Lösungen Hallo, Das Problem ist zwar von ner Uniaufgabe, aber niveaumäsig passt es hier glaub ich besser. Also gegeben ist ein halber Rotationsellipsoid $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{15^2}+\frac{y^2}{15^2}+\frac{z^2}{30^2}=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ . Es handelt sich hierbei um einen in z-Richtung verlängerten Ellipsoiden, d.h. die längere Halbachse a=30 liegt z-Richtung und die kürzere Halbachse b=15 liegt in der xy-Ebene und entspricht dem Radius des Rotationsellipsoiden R(=b) in der Ebene. Löst man die Gleichung nach z auf, so erhält man $\begin{eqnarray} z=g(r)=\sqrt{30^2-4 r^2} \end{eqnarray}$ und umgekehrt ist $\begin{eqnarray} r=f(z)=\frac{1}{2} \sqrt{30^2-z^2} \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} g=f^{-1} \end{eqnarray}$ . Aufgabenstellung ist, die Fläche des Ellipsoiden mittels einer einfachen, selbst hergeleiteten Formel zu bestimmen. Meine Gleichung in Abhängigkeit vom Radius lautet $\begin{eqnarray} A_1 = 2\pi \int_0^R~r \sqrt{1+[g'(r)]^2}~\dd r \end{eqnarray}$ Diese Formel kommt zustande, indem ich ein sehr kleines Bogenlängenstück $\begin{eqnarray} \Delta s = \sqrt{[\Delta r]^2 + [f(r+\Delta r)-f(r)]^2} \end{eqnarray}$ der Rotationsfläche einmal im Kreis wandern lasse, d.h. mit $\begin{eqnarray} 2\pi r \end{eqnarray}$ multipliziere, und dann über alle Flächenstücke aufsummiere und den Limes bilde. Das kann man machen, weil ja die z-Koordinate der Rotationsfläche ja nur vom Radius r abhängt und nicht vom Winkel. Mathematica liefert mir für dieses Integral das Ergebnis $\begin{eqnarray} A_1=25 \pi (9+4\sqrt{3}\pi) \end{eqnarray}$ Ich habe dieses Ergebnis kontrolliert, indem ich aus diesem Wikiartikel die guldinsche Regel für die Rotation um die x-Achse auf die Rotation um die z-Achse angewendet habe (d.h. einfach jedes x durch ein z ersetzen) und habe (weil ich ja nur eine halbe Fläche haben will) die Grenzen [0,a] gewählt anstelle von [-a,a]. Diese Formel lautet in meiner Rechnung: $\begin{eqnarray} A_2 = 2\pi \int_0^a~f(z) \sqrt{1+[f'(z)]^2}~\dd z \end{eqnarray}$ Mathematica liefert mir auch hier dasselbe Ergebnis. Auch die Orientierung des Integrals stimmt überein. Hier der Mathematicacode: Auf PasteBin Jetzt zu meinem Problem (sry für den langen Text): Die Gleichheit der Ergebnisse und die Aehnlichkeit der beiden Flächenformeln hat mich stutzig gemacht und ich will den mathematischen Zusammenhang dahinter aufdecken. Nur leider steckt irgendwo ein lästiger Fehlerteufel drin. Ich will zeigen - so wie es die Ergebnisse vermuten lassen - , dass $\begin{eqnarray} A_1=A_2 \end{eqnarray}$ ist, und zwar ohne den Zahlenwert auszurechnen ;-). Ich fange bei $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ an und versuche nach $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ umzuformen. $\begin{eqnarray} A_1=2\pi \int_0^R~r \sqrt{1+[g'(r)]^2}~\dd r \end{eqnarray}$ Ich wende sogleich die Substitutionsregel $\begin{eqnarray} \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}~h(x)~\dd x = \int_a^b~h(\phi(t)) \phi ' (t)~\dd t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r=f(z) \end{eqnarray}$ an. Es folgt nun $\begin{eqnarray} 2\pi \int_{0=f(a)}^{R=f(0)}~r \sqrt{1+[g'(r)]^2}~\dd r = 2\pi \int_a^0~f(z) \sqrt{1+[\underbrace{(f^{-1})'}_{g'}(\underbrace{f(z)}_{r})]^2}~ f'(z)~\dd z \end{eqnarray}$ Im nächsten Umformungsschritt ziehe ich das $\begin{eqnarray} f'(z) \end{eqnarray}$ unter die Wurzel und wende die Umkehrregel $\begin{eqnarray} (f^{-1})'(f(z))=\frac{1}{f'(z)} \end{eqnarray}$ . Das heisst der kompliziert aussehende Funktionsausdruck unter der Wurzel verkümmert zu einer Eins. Man erhält $\begin{eqnarray} 2\pi \int_a^0~f(z) \sqrt{1+[\underbrace{(f^{-1})'}_{g'}(\underbrace{f(z)}_{r})]^2}~ f'(z)~\dd z = 2\pi \int_a^0~f(z) \sqrt{[f'(z)]^2+1}~\dd z \end{eqnarray}$ Und schlussendlich $\begin{eqnarray} 2\pi \int_a^0~f(z) \sqrt{[f'(z)]^2+1}~\dd z=- 2\pi \int_0^a~f(z) \sqrt{[f'(z)]^2+1}~\dd z= -A_2 \end{eqnarray}$ Ich habe also $\begin{eqnarray} A_1 = -A_2 \end{eqnarray}$ erhalten. Und das verwirrt mich nun sehr, denn schliesslich spuckt mir Mathematica kein negatives Vorzeichen bei einem der beiden Integrale aus, obwoh ich die Integrale genauso wie hier geschrieben Mathematica diktiert habe. Also steckt ein irgendwo ein Denk- oder Rechenfehler drin. Kann jemand bitte mir bei der Fehlersuche helfen. Wäre sehr dankbar.
23.05.2009, 14:36	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre ein Mod bitte so freundlich und verschiebt diesen Thread in die Hochschulmathematik? Vielleicht findet er dort mehr Anklang.
25.05.2009, 09:28	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, ich hab den Fehler nach dem Anwenden der Substitutionsregel gemacht, indem ich die Ableitung f'(z) unter die Wurzel gezogen habe, denn die ist ja negativ. Ich müsste dann anstatt von $\begin{eqnarray} f'(z)=\sqrt{[f'(z)]^2} \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} f'(z)= - \sqrt{[f'(z)]^2} \end{eqnarray}$ schreiben und DANN erst unter die Wurzel ziehen. Dann eliminieren sich naher die beiden negativen Vorzeichen und die Welt ist wieder in Ordnung. Hab den Thread nun selbst gelöst. Man muss mir nur genügend Zeit lassen

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