Differenzierbarkeit

23.05.2009, 13:52

Sabinee

Differenzierbarkeit

Bestimmen Sie alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , in denen $\begin{eqnarray*} f(x,y)=|xy| \end{eqnarray*}$ partiell bzw. total differenzierbar sind.

Ich würde jetzt so vorgehen: Ich schaue nach in welchen Punkten die Richtungsableitung in Richtung des i-ten Einheitsvektors existiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(a+te_i)-f(a)}{t} =\lim_{t \to 0} \left|\frac{(a_1+t_1e_i)(a_2+t_2e_i)-(a_1a_2)}{t}\right| = \lim_{t \to 0} \left|\frac{a_1t_2e_i+a_2t_1e_i+t_1t_2}{t}\right| \end{eqnarray*}$

Mache ich das bis hierhin richtig?

23.05.2009, 16:30

Sabinee

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RE: Differenzierbarkeit
Ich glaube ich bin die Sache falsch angegangen.
Ich muss für jede Komponente eine Richtungsableitung machen.

$\begin{eqnarray*} D_xf(x,y)=\lim_{t \to 0} \frac{f((x+t),y)-f(x,y)}{t}= \lim_{t \to 0}\frac{|(x+t)y|-|xy|}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{|xy+ty|-|xy|}{t} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich das irgendwie so umformen, dass ich t gegen 0 laufen lassen kann, nur mir fällt grade nicht ein wie.

23.05.2009, 17:12

Sabinee

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RE: Differenzierbarkeit
Ich habe noch eine Idee, dann warte ich aber lieber mal auf eine Antwort.

Ich habe die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=|xy| \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ fest, dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases}x|y|, & \text{für } x\geq 0\\<br /> -x|y|, & \text{für }x<0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun sollte ich zeigen, ob die Richtungsableitung für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ existiert.

$\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0}f(x,y)=\lim_{t \to 0} \frac{f((x+t),y)-f(x,y)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{(x+t)|y|-x|y|}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t|y|}{t}=\lim_{t \to 0}|y|=|y| \end{eqnarray*}$

Diese Richtungsableitung existiert $\begin{eqnarray*} \forall x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{x< 0}f(x,y)=\lim_{t \to 0} \frac{f((x+t),y)-f(x,y)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{(x+t)|y|+x|y|}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t|y|+2x|y|}{t}=\lim_{t \to 0} |y|+\frac{2x|y|}{t} \end{eqnarray*}$

Diese Richtungsableitung existiert nur für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

Das gleiche muss jetzt für die Richtungsableitung nach y gemacht werden.

Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fest:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases}|x|y, & \text{für } y\geq 0\\<br /> -|x|y, & \text{für }y<0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{y\geq 0}f(x,y)=\lim_{t \to 0} \frac{f(x,(y+t))-f(x,y)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{(y+t)|x|-y|x|}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t|x|}{t}=\lim_{t \to 0}|x|=|x| \end{eqnarray*}$

Diese Richtung existiert nur für $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{y< 0}f(x,y)=\lim_{t \to 0} \frac{f(x,(y+t))-f(x,y)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{(y+t)|x|+y|x|}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t|x|+2y|x|}{t}=\lim_{t \to 0} |x|+\frac{2x|y|}{t} \end{eqnarray*}$

Diese Richtungsableitung existiert nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Folgt hierraus, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \forall (x,y)\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y\geq 0 \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar ist?

23.05.2009, 17:54

Mathespezialschüler

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Hallo!
Das sieht ein bisschen durcheinander aus und ist größtenteils falsch.

Zitat:

Original von Sabinee
Jetzt für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{x< 0}f(x,y)=\lim_{t \to 0} \frac{f((x+t),y)-f(x,y)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{(x+t)|y|+x|y|}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t|y|+2x|y|}{t}=\lim_{t \to 0} |y|+\frac{2x|y|}{t} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ setzt du $\begin{eqnarray*} -x|y| \end{eqnarray*}$ ein, für $\begin{eqnarray*} f(x+t,y) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} (x+t)|y| \end{eqnarray*}$ ? Das geht so nicht! Wenn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist für genügend kleine $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x+t<0 \end{eqnarray*}$ , also hat man dann $\begin{eqnarray*} f(x+t,y)=-(x+t)|y| \end{eqnarray*}$ .

Ich schlage folgende Fallunterscheidung vor:

1. $\begin{eqnarray*} x,y\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Hier solltest du partielle Differenzierbarkeit nach beiden Variablen erhalten.

2. $\begin{eqnarray*} x=0,y\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Hier solltest du nur partielle Differenzierbarkeit nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ erhalten.

3. $\begin{eqnarray*} x\neq 0,y=0 \end{eqnarray*}$ . Analog bekommt man hier nur partielle Differenzierbarkeit nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

4. $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ . Hier solltest du wieder partielle Differenzierbarkeit nach beiden Variablen erhalten.

Soviel erstmal zur partiellen Differenzierbarkeit. Für die totale Differenzierbarkeit musst du ja dann nicht mehr alle Punkte untersuchen.

23.05.2009, 18:39

Sabinee

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Ja ich habe meinen Fehler gesehen.

Also wenn ich das jetzt richtig mache komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0}f(x,y)=|y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{x<0}f(x,y)=-|y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y\geq 0}f(x,y)=|x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y< 0}f(x,y)=-|x| \end{eqnarray*}$

Nun habe ich deine Fallunterscheidungen betrachtet:

Ich erhalte:

Für $\begin{eqnarray*} x,y\neq 0 \end{eqnarray*}$ komme ich wie oben aufgeschrieben auf:

$\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0}f(x,y)=|y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{x<0}f(x,y)=-|y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y\geq 0}f(x,y)=|x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y< 0}f(x,y)=-|x| \end{eqnarray*}$

Das bedeutet jetzt, dass es nach beiden Variabeln partiell differenzierbar ist?
Warum ist das so, das verstehe ich noch nicht ganz.

Weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_xf(0,y)=|y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y< 0}f(0,y)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y\neq 0}f(0,y)=0 \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt nur nach y partiell differenzierbar?

$\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0}f(x,0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{x< 0}f(x,0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y\geq 0}f(x,0)=|x| \end{eqnarray*}$

Und als letztes:

$\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0}f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{y\geq 0}f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$

Und das ist wieder nach x und y partiell differenzierbar?

Könntest du mir das näher erklären warum das so ist und ist das überhaupt so richtig wie ich das mache?

23.05.2009, 22:12

Mathespezialschüler

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Du hast einen kleinen Denkfehler bzw. du hast mich nicht verstanden.

Differenzierbarkeit im Allgemeinen prüft man in bestimmen Punkten. Z.B. kann man überprüfen, ob die gegebene Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} (3,5) \end{eqnarray*}$ partiell oder total differenzierbar ist. Und da du in der Aufgabe genau alle Punkte bestimmen sollst, in denen die Funktion partiell oder total differenzierbar ist, nimmst du dir solch einen festen Punkt her und untersuchst in diesem Punkt, was passiert. Und meine Fallunterscheidung war nun auf diese Punkte bezogen. Deswegen verstehe ich nicht, warum du so viele Ableitungen dort hinschreibst. Auch wüsste ich gerne, was du mit einem Zeichen wie $\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0} \end{eqnarray*}$ meinst.

Ich würde, wie gesagt, nach den angegebenen Fällen unterscheiden und dort die Differenzierbarkeit prüfen.

24.05.2009, 03:25

Sabinee

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Mit $\begin{eqnarray*} D_{x\geq 0} \end{eqnarray*}$ meine ich die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ , da das ja eine abschnitsweise definierte Funktion ist und je nachdem wie x ist eine andere Funktion annimmt.

Oder muss ich das so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} D_xf(x,y)=\begin{cases} |y|, & \text{für }x\geq 0\\ -|y|, & \text{für }x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} D_yf(x,y)=\begin{cases} |x|, & \text{für }y\geq 0\\ -|x|, & \text{für }y<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

So wenn ich mir jetzt feste Werte vorgebe, wie $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wieso erhält man hier nur partielle Differenzierbarkeit nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?

Weil es gilt doch dann:

$\begin{eqnarray*} D_xf(0,y)=|y| \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} D_xf(0,y)=0 \end{eqnarray*}$

Sorry, wenn ich mich so blöd anstelle, aber ich will es begreifen.

24.05.2009, 12:53

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sabinee
Weil es gilt doch dann:

$\begin{eqnarray*} D_xf(0,y)=|y| \end{eqnarray*}$

Du weißt ja sicher, dass der Betrag in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt nicht differenzierbar ist. Wenn also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist und du Differenzierbarkeit nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ untersuchst, dann untersuchst, ob die Funktion $\begin{eqnarray*} h_y(x):=|y|\cdot |x| \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt differenzierbar ist. Für $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist das aber nur ein Vielfaches der Betragsfunktion, z.B. ist für $\begin{eqnarray*} y=-3 \end{eqnarray*}$ einfach nur $\begin{eqnarray*} h_{-3}(x)=3|x| \end{eqnarray*}$ , und diese ist nunmal im Nullpunkt nicht differenzierbar. Deswegen ist deine Funktion in Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=0,y\neq 0 \end{eqnarray*}$ nicht partiell nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Zitat:

Original von Sabinee
Oder muss ich das so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} D_xf(x,y)=\begin{cases} |y|, & \text{für }x\geq 0\\ -|y|, & \text{für }x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist schon etwas verständlicher, aber bevor du so etwas hinschreibst, solltest du dich, wie gesagt, erst davon überzeugen, dass diese partielle Ableitung auch immer existiert. Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) ist das, wie gesagt, falsch.

24.05.2009, 17:58

Sabinee

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Hallo Mathespezialschüler, deine Erklärung ist einfach nur super. Habs jetzt verstanden. Vielen Dank.

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