Grenzwert mittels Differenzenquotient

23.05.2009, 13:16

Lernen2009

Hallo zusammen,

ich habe leider Probleme mit der Aufgabe f(x) = 1 / (1 + x²)

Ich soll hier ebenfalls die Ableitung durch die Grenzwertberechnung des Differenzenquotienten bestimmen.

Ich muss ja letztendlich auf die Ableitungsfunktion:
2x / ((x² +1 ) ^2 ) kommen, richtig?

Kann mir jemand helfen? Ich habe scheinbar auf dem Weg dorthin irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht.

23.05.2009, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lernen2009
Ich habe scheinbar auf dem Weg dorthin irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht.

In der Tat. Die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$ .

Die Bestimmung der Ableitung mittels des Differenzenquotienten sollte machbar sein. Es könnte aber in eine eklige Rechnung ausarten.

23.05.2009, 13:51

Eva-S

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RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion
Hallo zusammen,

ich bin Lernen2009 und habe mir mal einen "echten Account" erstellt. Hallo zusammen... ;-)

Ich würde jetzt so anfangen:

Es sei
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

danach dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+(x+h)^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} \end{eqnarray*}$

Bin ich so schonmal auf dem richtigen Weg?
(Garnicht so einfach dies Latex-Syntax.)

23.05.2009, 14:23

klarsoweit

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RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion

Zitat:

Original von Eva-S
ich bin Lernen2009 und habe mir mal einen "echten Account" erstellt. Hallo zusammen... ;-)

Hallo und herzlich willkommen!

Zitat:

Original von Eva-S
Bin ich so schonmal auf dem richtigen Weg?

Ja mit der Einschräkung, daß $\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Eva-S
(Garnicht so einfach dies Latex-Syntax.)

Man gewöhnt sich aber schnell dran. Augenzwinkern

24.05.2009, 11:13

Eva-S

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RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Ja mit der Einschräkung, daß $\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ ist.

Erklärst Du mir kurz noch warum das so ist bitte?

24.05.2009, 11:34

klarsoweit

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RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion
Das ist schlicht und ergreifend die Definition. Die Motivation für diese Definition ist, daß man 2 Punkte der Funktion betrachtet - nämlich (x, f(x)) und (x+h, f(x+h)) - und durch diese eine Gerade legt. Die Steigung m der Geraden ist dann $\begin{eqnarray*} m = \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x} \end{eqnarray*}$ .

24.05.2009, 11:42

Eva-S

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RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion
Nach ein paar Anlaufschwierigkeiten mit der laTEX Syntax hier meine Berechnung.

Ich habe es ganz ausführlich notiert und würde mich freuen, wenn jemand dies nochmal auf Korrektheit überprüfen könnte:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+(x+h)^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+x^2+2hx+h^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(1+x^2)-(1+x^2+2hx+h^2)}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{1+x^2-1-x^2-2hx-h^2}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} =\lim_{h \to 0}\frac{1+x^2-1-x^2-2hx-h^2}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{-2x-h}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)}=\lim_{h \to 0}\frac{-2x-h}{1+x^2+2hx+h^2+x^2+x^4+2hx^3+h^2x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{2x}{x^4+2x^2+1}=- \frac{2x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

EDIT: Zeilenschaltungen im Latexcode entfernt (klarsoweit).

24.05.2009, 11:54

klarsoweit

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RE: Differenzenquotient einer gebrochen-rationalen Funktion
Das ist im Prinzip richtig, wobei es - wie schon gesagt - statt $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ richtigerweise $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ heißen muß.

Desweiteren konntest du dir das Ausmultiplizieren des Nenners sparen.

Und bitte vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. Augenzwinkern

24.05.2009, 12:06

Eva-S

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@Klarsoweit:
Was genau sind Zeilenschaltungen? Habe das wohl wenn, dann unabsichtlich eingefügt.

Hier also meine finale Berechnung (fertig für die "Abgabe"):

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+(x+h)^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+x^2+2hx+h^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(1+x^2)-(1+x^2+2hx+h^2)}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{1+x^2-1-x^2-2hx-h^2}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} =\lim_{h \to 0}\frac{1+x^2-1-x^2-2hx-h^2}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{-2x-h}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)}=\lim_{h \to 0}\frac{-2x-h}{1+x^2+2hx+h^2+x^2+x^4+2hx^3+h^2x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{2x}{x^4+2x^2+1}=- \frac{2x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Zum Schluß habe ich hoffentlich das limes an der richtigen Stelle weggelassen!?

24.05.2009, 12:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Eva-S
Was genau sind Zeilenschaltungen? Habe das wohl wenn, dann unabsichtlich eingefügt.

Eine Zeilenschaltung ist die absichtliche Betätigung derjenigen Taste, mit der man im Text eine neue Zeile beginnt.

Zitat:

Original von Eva-S
Zum Schluß habe ich hoffentlich das limes an der richtigen Stelle weggelassen!?

Ja. In der drittletzten Zeile deiner Rechnung passiert nichts, so daß du einen Term weglassen kannst.

24.05.2009, 12:40

Eva-S

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Ich habe es nochmal korrigiert, die drittletzte Zeile sollte eigentlich anders aussehen.
Jetzt sollte es insgesamt stimmen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+ h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+(x+h)^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{1+x^2+2hx+h^2}-\frac{1}{1+x^2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(1+x^2)-(1+x^2+2hx+h^2)}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{1+x^2-1-x^2-2hx-h^2}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} =\lim_{h \to 0}\frac{-2hx-h^2}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)*h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0}\frac{-2x-h}{(1+x^2+2hx+h^2)*(1+x^2)}=\lim_{h \to 0}\frac{-2x-h}{1+x^2+2hx+h^2+x^2+x^4+2hx^3+h^2x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =- \frac{2x}{x^4+2x^2+1}=- \frac{2x}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

24.05.2009, 13:48

klarsoweit

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Ja. Wie schon gesagt ist das Ausmultiplizieren des Nenners in der vorletzten Zeile unnötig. Du kannst ganz einfach das h im ersten Faktor gegen Null gehen lassen.

24.05.2009, 14:08

Eva-S

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Ahh, jetzt verstehe ich was Du meinst...

Wenn ich das so mache muss ich dann entsprechend die "limes"-Bezeichnung eher weglassen, oder?

(Wenn ich das mathematisch korrekt aufschreiben will?)

24.05.2009, 14:16

klarsoweit

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Wenn du den Grenzwert bildest (oder gebildet hast), dann läßt du die lim-Bezeichnung weg, denn du hast ja genau das gemacht, was die lim-Bezeichnung von dir wollte, nämlich den Grenzwert zu bilden. Augenzwinkern

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