borel-messbare Funktionen und Unabhängigkeit

23.05.2009, 18:19

Annie2009

borel-messbare Funktionen und Unabhängigkeit

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten und finde leider keinen Ansatz:
X, Y sind unabhängige Zufallsvariablen und f, g seinen borel-messbar (R-->R)

nun soll ich zeigen, dass aus der Unabhängigkeit von X und Y auch die Unabhängigkeit von f(X) und g(Y) folgt.

Mein Problem dabei, dass ich die Borel-Messbarkeit nicht anwenden kann, sprich ich kann mir auch unter f(X) nichts vorstellen und weiß daher gar nicht was ich zeigen muss.

Meine ersten Überlegungen waren:

X ist eine Zufallsvariable, also eine Abbildung nach R, dann ist f(X) ebenfalls eine Zufallsvarible, analog gilt das für g(Y).
Ich will nun zeigen, dass f(X) und g(Y) unabhängig sind.
Ich kenne dazu nur eine Definition über die Wahrscheinlichkeit.
Zzg.: P(f(X)=x,g(Y)=y) =P(f(X)=x)P(f(Y)=y)

aber nun komme ich nicht weiter und deswegen glaube ich, dass mein Ansatz schon falsch ist...

Vielen Dank für Hilfe und Erklärungen smile

23.05.2009, 18:50

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RE: borel-messbare Funktionen und Unabhängigkeit

Zitat:

Original von Annie2009
Ich kenne dazu nur eine Definition über die Wahrscheinlichkeit.
Zzg.: P(f(X)=x,g(Y)=y) =P(f(X)=x)P(f(Y)=y)

Das mag für diskrete Zufallsgrößen reichen - für allgemeine Zufallsgrößen ist diese Forderung viel zuwenig. So gilt z.B. für beliebige stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} f(X),g(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(f(X)=x,g(Y)=y) = P(f(X)=x) = P(g(Y)=y) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

und somit auch $\begin{eqnarray*} P(f(X)=x,g(Y)=y) = P(f(X)=x) \cdot P(g(Y)=y) \end{eqnarray*}$ , das heißt aber noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. unglücklich

Nein, du musst direkt über die Definition der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen gehen, dass nämlich ausgehend von der Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Urbild-Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} [f(X)]^{-1}(\mathcal{B}) = X^{-1}(f^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [g(Y)]^{-1}(\mathcal{B}) = Y^{-1}(g^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. In der Detailformulierung des letzten Satzes habe ich den halben Beweis bereits verraten. Augenzwinkern

23.05.2009, 20:55

Annie2009

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Danke für die schnelle Antwort!
...aber da muss ich erstmal drüber nachdenken Augenzwinkern

Und dies ist der einzige Ansatz, den ich verwenden kann? Denn ich habe bisher in meinem Skript keine ähnlich Defintion gefunden... Aber ich werde morgen noch einmal meine Übungsunterlagen durchforsten smile

Also vielen Dank und ich hoffe, der Ansatz bringt mich morgen voran.

23.05.2009, 21:19

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Zitat:

Original von Annie2009
Und dies ist der einzige Ansatz, den ich verwenden kann?

Was verstehst du denn unter Unabhängigkeit von Zufallsgrößen?

Man kann es im Detail verschieden formulieren, aber letztendlich dürfte jede Beweisvariante hier auf dasselbe hinauslaufen.

24.05.2009, 12:43

Annie2009

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Also die Definition, die ich kenne, lautet:

Seien $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen mit Werten in einem messbaren Raum (E, $\begin{eqnarray*} \mathfrak{E} \end{eqnarray*}$ ). Dann sind sie unabhängig, falls für beliebige $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ (diese sind Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{E} \end{eqnarray*}$ )
die Ereignisse { $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ }...{ $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ } unabhängig sind.

und dass Ereignisse unabhängig sind, habe ich bisher immer nur über ihre Wahrscheinlichkeit gezeigt.

Vielleicht verstehe ich ja auch die obige Defintion falsch?!

24.05.2009, 12:54

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$\begin{eqnarray*} \{X_1\in B_1\} \end{eqnarray*}$ ist nur die Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} \{ \omega\in\Omega \bigm| X_1(\omega)\in B_1\} \end{eqnarray*}$ , und das ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} X_1^{-1}(B_1) \end{eqnarray*}$ .

24.05.2009, 18:02

Annie2009

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Daran hab ich gar nicht gedacht unglücklich

Okay dann sehe ich auch, warum gilt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [f(X)]^{-1}(\mathcal{B}) = X^{-1}(f^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [g(Y)]^{-1}(\mathcal{B}) = Y^{-1}(g^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$

Und gilt, $\begin{eqnarray*} f^(-1) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ) ist wieder ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ?

oder heißt Borel-messbar doch etwas anderes? (Wir haben es in der VL nicht so genau behandelt und so verstehe ich das, was ich dazu bisher gelesen habe... unglücklich

)

24.05.2009, 18:04

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Zitat:

Original von Annie2009
Und gilt, $\begin{eqnarray*} f^(-1) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ) ist wieder ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ?

Ja - das besagt ja gerade die Borelmessbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ !

24.05.2009, 18:36

Annie2009

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Aber dann folgt doch aus

$\begin{eqnarray*} [latex][f(X)]^{-1}(\mathcal{B}) = X^{-1}(f^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [g(Y)]^{-1}(\mathcal{B}) = Y^{-1}(g^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ [/latex]

und X und Y sind unabhängig direkt die Unabhängigkeit von f(X) und g(Y)?

Oder ist da noch ein Haken, den ich nicht sehe? Denn ich würde denken, wenn X und Y unabhängig sind, sind auch $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ) und
$\begin{eqnarray*} Y^{-1} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ) unabhängig.

24.05.2009, 18:43

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Zitat:

Original von Annie2009
Aber dann folgt doch aus

$\begin{eqnarray*} [latex][f(X)]^{-1}(\mathcal{B}) = X^{-1}(f^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [g(Y)]^{-1}(\mathcal{B}) = Y^{-1}(g^{-1}(\mathcal{B})) \end{eqnarray*}$ [/latex]

und X und Y sind unabhängig direkt die Unabhängigkeit von f(X) und g(Y)?

Ja. Zur Sicherheit solltest du es aber noch etwas ausführlicher aufschreiben, damit man dir auch abnimmt, dass du es richtig verstanden hast. Etwa so:

Die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass die Ereignisse $\begin{eqnarray*} X^{-1}(A),Y^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ unabhängig sind für jede beliebige Wahl $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ . (*)

Wählt man nun für beliebig vorgegebene $\begin{eqnarray*} A',B'\in \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ die Borelmengen $\begin{eqnarray*} A:=f^{-1}(A'),B=g^{-1}(B') \end{eqnarray*}$ , so folgt aus (*) direkt die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X^{-1}(f^{-1}(A')),Y^{-1}(g^{-1}(B')) \end{eqnarray*}$ . Und das war gerade nachzuweisen.

24.05.2009, 19:24

Annie2009

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Vielen, vielen Dank! Denn verstanden habe ich es nun wirklich smile

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