Intervallänge

23.05.2009, 18:40	nicole22	Auf diesen Beitrag antworten »
Intervallänge Begründen Sie, dass das Produkt der unbekannten Wahrscheinlichkeit p mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-p durch p(1-p) = 0,25 abgeschätzt werden kann und folgende Abschätzung der Intervalllänge d in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang n zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95%: d= 1,96*(Wurzel(1/n)) Wie man auf die 1,96 kommt, ist mir klar, da 95% den Radius der Umgebung von 1,96 sigma hat. p=0,5 (Gleichung umgestellt). Aber warum ist es dann noch wurzel (1/n), wie soll ich das aus p(1-p)=0,25 herleiten? Danke euch.
24.05.2009, 09:25	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
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24.05.2009, 16:37	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (1-p)\cdot p \end{eqnarray}$ kann nie größer als 0,25 werden. (wenn p= 1-p). Dein $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ändert sich, wenn du die Verteilung der Mittelwerte aus einem Stichprobenumfang von n Elementen nimmst. Da die Intervallgröße davon abhängt, ändert sie sich auch. Einen Beweis für den sog. "Standardfehler" findest du hier: http://books.google.de/books?id=zNzoubnZhukC&pg=PA110&lpg=PA110&dq=standardfehler+beweisen&source=bl&ots=GRVA3YaZF7&sig=zQvBtObmcaSDWveh54_CNvvNWN0&hl=de&ei=9lcZSoymBs7B_QaDp8D-DA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#PPA110,M1
24.05.2009, 19:24	nicole22	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Mir ist nur nicht klar, warum in der Wurzel 1/n steht, wo kommt das her bzw. warum ist dies bei p(1-p) so?
24.05.2009, 23:19	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist deine Intervalllänge falsch angegeben, sie müsste lauten: $\begin{eqnarray} d=1,96\sigma\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} d=1,96\sigma_{\overline{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist deine "normale" Standardabweichung, die angibt wie stark ein einzeln genommener Wert um den Mittelwert schwankt. Du hast eine große Menschenmenge und ziehst dir einen beliebigen heraus, dann ist es eher unwahrscheinlich, dass er dicht bei 1,77 m liegt. Wenn du schätzen solltest, wie groß er sein könnte, würdest du etwa ein Intervall von 1,55m - 1,95m angeben. Wenn du 10 Menschen herausziehst und deren Durchschnitt nimmst, kannst du davon ausgehen, dass er sehr nah an 1,77m liegen sollte. Die neue Standardabweichung, die die Schwankung dieses "10er- Durschnitts" vom tatsächlichen Mittelwert angibt, wäre dann $\begin{eqnarray} \sigma_{\overline{x}} =\frac{\sigma}{\sqrt{10}} \end{eqnarray}$ Sie wird also mit zunehmender Anzahl n an Menschen immer kleiner. $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist um den Faktor $\begin{eqnarray} \sqrt{n} \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} \sigma_{\overline{x}} \end{eqnarray}$ Dieses Verhältnis hat nichts mit p =0,5 zu tun. Man geht nur von der größtmöglichen Standardabweichung aus, wenn man sie nicht kennt, damit man das Intervall nicht zu eng fasst. Bei der Binomialverteilung hängt $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ von p(1-p) ab. Deshalb unterstellt man vorsichtshalber den größtmöglichen Wert und der ist 0,25.

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