Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden |
24.05.2009, 09:38 | akasharishi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden auf [0,1] Das Supremum muss jetzt doch festgestellt werden.(Wiso genügt es eigentlich festzustellen, dass der Abstand zwischen den Suprema von f und f_n beliebig klein wird, und nicht für alle x?) Ich nehme einmal an das Supremum ist hier 1: Jetzt kann ich doch m=n-1 wählen und sehen ob die Ungleichung für unendlich viele n gilt oder? Wiso versagt diese Methode aber bei auf [0,1] wo ich die gleichmäßige Konvergenz erhalte obwohl diese gar nicht vorliegt? Vielen Dank! Gruß Rishi |
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24.05.2009, 10:48 | Sam Al Knödl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden zu deiner 2. Problemstellung... hast du auch die Randwerte in deiner Betrachtung mit eingeschlossen? weil das macht dir die gleichmäßige Konvergenz zunichte. muss für ALLE x aus deinem Intervall die selbe Grenzfunktion (für n gg unendlich) haben, was hier offensichtlich nicht der Fall ist. Die Grenzfunktion (für ) ist für alle x aus [0,1] außer für eines.... und welches wird das wohl sein? ^^ |
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24.05.2009, 11:04 | Sam Al Knödl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden zu deiner ersten Problemstellung: wende diese Definition der glm. Konvergenz an und dann dürfts klappen mit konvergiert glm. bezüglich gegen für folgendes gilt: ok xD das is nich das Cauchy-Kriterium aber sowas ähnliches :P |
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24.05.2009, 11:15 | Sam Al Knödl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden hui ich habs wende das Cauchy-Kriteium so wie ich es dir jetzt schreibe mal einfach stur an... das müsst klappen... konv. glm. bzgl. x gegen (für n gg unendlich) |
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24.05.2009, 13:12 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es soll nicht der Abstand zwischen den Suprema klein werden, sondern das Supremum der Abstände! Und das genügt, weil es dann doch für alle gilt, denn wenn das Supremum der Abstände kleiner ist als eine vorgegebene Zahl, dann ist ja auch der Abstand für ein beliebiges kleiner als diese Zahl (Definition des Supremums!)
ist immer Null, das ergibt keinen Sinn. Du musst zeigen, dass beliebig klein wird für genügend große . Das heißt, dass du zu jedem ein finden musst, sodass für alle und . Du darfst dir dabei nicht einfach irgendwelche Paare aussuchen. Im Übrigen würde ich hier nicht mit dem Cauchy-Kriterium arbeiten, das macht das Ganze nur komplizierter. Warum das Ganze für auf gleichmäßige Konvergenz bringen soll, weiß ich auch nicht, und das ist auch falsch. |
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24.05.2009, 13:51 | Sam Al Knödl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und ich hab ja auch gerschrieben warum das falsch ist xD bzw ich hab versucht ihm den hinweis zu geben... |
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25.05.2009, 15:02 | akasharishi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Entschuldigt, ich habe mich in der Eile total verschrieben...Es sollte natürlich heißen.Meine eigentliche Frage war ob ich um die Ungleichung zu lösen m=n-1 setzen darf/muss. Denn so glit die Behauptung für alle . Auch bei der zweiten aufgabe habe ich 1 als Supremum erkannt und mit dieser Methode gearbeitet, erhalte jedoch gleichmäßige Konvergenz wo keine ist?: Das ist doch eine Aussage die für unendlich viele n gilt...wiso also keine konvergenz? Gruß Rishi |
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26.05.2009, 00:24 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lies das nochmal und beachte das fettgedruckte. Natürlich reicht du es nicht, das Ganze nur für zu machen. Du hast das Supremum falsch berechnet! Für sind die Funktionen und offenbar verschieden, da kann als ganz sicher als Supremum des Betrags der Differenz nicht Null herauskommen! |
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26.05.2009, 16:42 | akasharishi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Danke für deine Antwort erstmal. Nun ist es mir aber bei den 2 Variablen m und n schleierhaft, wie ich dieses n_0 bestimmen soll! Da ich das Konvergenzkriterium nur aus der Theorie kenne, noch nie aber eine Anwendung gesehen habe, bitte ich um eine Auskunft über eine allgemeine Vorgangangsweise...Oder muss man es durch probieren lösen z.B. n_0=1000 und einsetzen ob die Ungleichung erfüllt ist? Gruß Rishi |
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26.05.2009, 17:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ganz sicher nicht. Du musst ja zu jedem ein (was von abhängt!) bestimmen, das die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Ich würde aber, wie gesagt, nicht das Cauchykriterium anwenden, sondern die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Geht es dir jetzt um die ursprüngliche Aufgabe oder um ? |
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26.05.2009, 19:27 | akasharishi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meine die ursprüngliche Aufgabe...Und die Sache mit dem probieren war mehr scherzhaft und bei gegebenen epsilon gemeint. Könntet ihr mir bitte erklären, wie ich sonst vorgehen muss, um an das n_0 zu kommen, oder muss ich wirklich raten? Bei der 2. Aufgabe verstehe ich jetzt, das das Supremum nicht 1 sein kann, aber wie komme ich eigentlich an das Supremum von x^n-x^m? Auch das Supremum habe ich bis jetzt nur von Funktionen mit einer Variable gebildet... Ich will unbedingt wissen wie man sowas mit Cauchy löst. |
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26.05.2009, 19:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal zum Zweiten: Das ist nur eine Variable, nämlich . Das und sind zwar beliebig, aber fest und bezüglich dieser wird kein Supremum gebildet! Das Supremum lässt sich nicht so schön bestimmen, deswegen sage ich jetzt zum dritten Mal, dass es in diesen Fällen einfacher ist, die Definition zu nehmen und nicht das Cauchykriterium. Also die Funktionenfolge konvergiert auf dem Intervall punktweise gegen . Wenn sie gleichmäßig konvergieren würde, dann müsste sie gleichmäßig gegen konvergieren. Nun ist aber und das Supremum dieser Funktion soll bestimmt werden bei festem . Dieses ist aber offenbar Eins (mach dir ein Bild und begründe diese Tatsache mathematisch korrekt, indem du gehen lässt). Zur eigentlichen Aufgabe: Der punktweise Grenzwert ist die Identität . Hier konvergiert die Folge tatsächlich gleichmäßig, denn das Supremum der Funktion ist was? Konvergiert dieses Supremum, wenn man nun laufen lässt, gegen Null? |
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26.05.2009, 20:18 | akasharishi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Danke für die Informationen!
Genau so meinte ich das! Ich hätte wohl besser "Unbekannte" schreiben sollen... Mit dieser Erklärung habe ich es nun verstanden!Ich dachte immer der andere Weg mittels Couchy wäre grundsätzlich auch möglich...(Bei der 1. Aufgabe sieht man das Supremum ja sofort) Gruß Rishi |
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26.05.2009, 20:22 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der ist auch möglich. Allerdings ist manchmal die eine Formulierung, manchmal die andere angenehmer. Und in diesem Fall ist es eindeutig die Definition. Es gibt aber auch Fälle, in denen das Cauchykriterium besser geeignet ist. |
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