Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden

24.05.2009, 09:38

akasharishi

Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden

Hallo!

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{n+1}{n}x \end{eqnarray*}$ auf [0,1]

Das Supremum muss jetzt doch festgestellt werden.(Wiso genügt es eigentlich festzustellen, dass der Abstand zwischen den Suprema von f und f_n beliebig klein wird, und nicht für alle x?)

Ich nehme einmal an das Supremum ist hier 1:

$\begin{eqnarray*} |\frac{m+1}{m}-\frac{m+1}{m}|\le\epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich doch m=n-1 wählen und sehen ob die Ungleichung für unendlich viele n gilt oder?

Wiso versagt diese Methode aber bei $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ auf [0,1] wo ich die gleichmäßige Konvergenz erhalte obwohl diese gar nicht vorliegt?

Vielen Dank!

Gruß

Rishi

24.05.2009, 10:48

Sam Al Knödl

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RE: Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden
zu deiner 2. Problemstellung...

hast du auch die Randwerte in deiner Betrachtung mit eingeschlossen? weil das macht dir die gleichmäßige Konvergenz zunichte. $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ muss für ALLE x aus deinem Intervall die selbe Grenzfunktion (für n gg unendlich) haben, was hier offensichtlich nicht der Fall ist. Die Grenzfunktion (für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ ) ist für alle x aus [0,1] $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ außer für eines.... und welches wird das wohl sein? ^^

24.05.2009, 11:04

Sam Al Knödl

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RE: Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden
zu deiner ersten Problemstellung:

wende diese Definition der glm. Konvergenz an und dann dürfts klappen Big Laugh

$\begin{eqnarray*} {a_k(x)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in N \end{eqnarray*}$ konvergiert glm. bezüglich $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \alpha(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to \infty \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} (\underset{x\in P}{sup}~d(a_k(x),\alpha(x))<\varepsilon \end{eqnarray*}$

ok xD das is nich das Cauchy-Kriterium aber sowas ähnliches :P

24.05.2009, 11:15

Sam Al Knödl

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RE: Cauchysches Konvergenzkriterium anwenden
hui ich habs Big Laugh

wende das Cauchy-Kriteium so wie ich es dir jetzt schreibe mal einfach stur an... das müsst klappen...

$\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ konv. glm. bzgl. x gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (für n gg unendlich) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \exists N_\varepsilon \forall n,m \geq N_\varepsilon \forall x\in X ~ d(a_n(x),a_m(x))<\varepsilon \end{eqnarray*}$

24.05.2009, 13:12

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von akasharishi
Wiso genügt es eigentlich festzustellen, dass der Abstand zwischen den Suprema von f und f_n beliebig klein wird, und nicht für alle x?

Es soll nicht der Abstand zwischen den Suprema klein werden, sondern das Supremum der Abstände! Und das genügt, weil es dann doch für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, denn wenn das Supremum der Abstände kleiner ist als eine vorgegebene Zahl, dann ist ja auch der Abstand für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kleiner als diese Zahl (Definition des Supremums!)

Zitat:

Original von akasharishi
Ich nehme einmal an das Supremum ist hier 1:

$\begin{eqnarray*} |\frac{m+1}{m}-\frac{m+1}{m}|\le\epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich doch m=n-1 wählen und sehen ob die Ungleichung für unendlich viele n gilt oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{m+1}{m}-\frac{m+1}{m} \end{eqnarray*}$ ist immer Null, das ergibt keinen Sinn. Du musst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{m+1}{m}-\frac{n+1}{n}\right| \end{eqnarray*}$

beliebig klein wird für genügend große $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass du zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden musst, sodass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{m+1}{m}-\frac{n+1}{n}\right|\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Du darfst dir dabei nicht einfach irgendwelche Paare aussuchen.

Im Übrigen würde ich hier nicht mit dem Cauchy-Kriterium arbeiten, das macht das Ganze nur komplizierter.

Warum das Ganze für $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmäßige Konvergenz bringen soll, weiß ich auch nicht, und das ist auch falsch.

24.05.2009, 13:51

Sam Al Knödl

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Zitat:

Warum das Ganze für $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmäßige Konvergenz bringen soll, weiß ich auch nicht, und das ist auch falsch.

und ich hab ja auch gerschrieben warum das falsch ist xD bzw ich hab versucht ihm den hinweis zu geben...

25.05.2009, 15:02

akasharishi

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Hallo!

Entschuldigt, ich habe mich in der Eile total verschrieben...Es sollte natürlich $\begin{eqnarray*} |\frac{n+1}{n}-\frac{m+1}{m}|\le\epsilon \end{eqnarray*}$ heißen.Meine eigentliche Frage war ob ich um die Ungleichung zu lösen m=n-1 setzen darf/muss. Denn so glit die Behauptung für alle $\begin{eqnarray*} 3,7\le n \end{eqnarray*}$ .

Auch bei der zweiten aufgabe habe ich 1 als Supremum erkannt und mit dieser Methode gearbeitet, erhalte jedoch gleichmäßige Konvergenz wo keine ist?:

$\begin{eqnarray*} |1^n-1^{n-1}|\le\epsilon[qquad]0\le\epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist doch eine Aussage die für unendlich viele n gilt...wiso also keine konvergenz?

Gruß

Rishi

26.05.2009, 00:24

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das heißt, dass du zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden musst, sodass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{m+1}{m}-\frac{n+1}{n}\right|\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Du darfst dir dabei nicht einfach irgendwelche Paare aussuchen.

Lies das nochmal und beachte das fettgedruckte. Natürlich reicht du es nicht, das Ganze nur für $\begin{eqnarray*} m=n-1 \end{eqnarray*}$ zu machen.

Du hast das Supremum falsch berechnet! Für $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_m(x)=x^m \end{eqnarray*}$ offenbar verschieden, da kann als ganz sicher als Supremum des Betrags der Differenz nicht Null herauskommen!

26.05.2009, 16:42

akasharishi

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Hallo!

Danke für deine Antwort erstmal. Nun ist es mir aber bei den 2 Variablen m und n schleierhaft, wie ich dieses n_0 bestimmen soll! Da ich das Konvergenzkriterium nur aus der Theorie kenne, noch nie aber eine Anwendung gesehen habe, bitte ich um eine Auskunft über eine allgemeine Vorgangangsweise...Oder muss man es durch probieren lösen z.B. n_0=1000 und einsetzen ob die Ungleichung erfüllt ist?

Gruß

Rishi

26.05.2009, 17:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von akasharishi
Oder muss man es durch probieren lösen z.B. n_0=1000 und einsetzen ob die Ungleichung erfüllt ist?

Nein, ganz sicher nicht. Du musst ja zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (was von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt!) bestimmen, das die gewünschte Eigenschaft erfüllt.

Ich würde aber, wie gesagt, nicht das Cauchykriterium anwenden, sondern die Definition der gleichmäßigen Konvergenz.

Geht es dir jetzt um die ursprüngliche Aufgabe oder um $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ ?

26.05.2009, 19:27

akasharishi

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Ich meine die ursprüngliche Aufgabe...Und die Sache mit dem probieren war mehr scherzhaft und bei gegebenen epsilon gemeint. Könntet ihr mir bitte erklären, wie ich sonst vorgehen muss, um an das n_0 zu kommen, oder muss ich wirklich raten? Bei der 2. Aufgabe verstehe ich jetzt, das das Supremum nicht 1 sein kann, aber wie komme ich eigentlich an das Supremum von x^n-x^m? Auch das Supremum habe ich bis jetzt nur von Funktionen mit einer Variable gebildet...

Ich will unbedingt wissen wie man sowas mit Cauchy löst.

26.05.2009, 19:51

Mathespezialschüler

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Erstmal zum Zweiten: Das ist nur eine Variable, nämlich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind zwar beliebig, aber fest und bezüglich dieser wird kein Supremum gebildet!

Das Supremum lässt sich nicht so schön bestimmen, deswegen sage ich jetzt zum dritten Mal, dass es in diesen Fällen einfacher ist, die Definition zu nehmen und nicht das Cauchykriterium.

Also die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ konvergiert auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ punktweise gegen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0 & 0\leq x<1 \\ 1 & x=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wenn sie gleichmäßig konvergieren würde, dann müsste sie gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren. Nun ist aber

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=\begin{cases} x^n & 0\leq x<1 \\ 0 & x=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und das Supremum dieser Funktion soll bestimmt werden bei festem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Dieses ist aber offenbar Eins (mach dir ein Bild und begründe diese Tatsache mathematisch korrekt, indem du $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$ gehen lässt).

Zur eigentlichen Aufgabe: Der punktweise Grenzwert ist die Identität $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ . Hier konvergiert die Folge tatsächlich gleichmäßig, denn das Supremum der Funktion

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=\left|\frac{n+1}{n}\cdot x-x\right|=\frac{1}{n}|x| \end{eqnarray*}$

ist was? Konvergiert dieses Supremum, wenn man nun $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ laufen lässt, gegen Null?

26.05.2009, 20:18

akasharishi

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Ok. Danke für die Informationen!

Zitat:

Erstmal zum Zweiten: Das ist nur eine Variable, nämlich . Das und sind zwar beliebig, aber fest und bezüglich dieser wird kein Supremum gebildet!

Genau so meinte ich das! Ich hätte wohl besser "Unbekannte" schreiben sollen...
Mit dieser Erklärung habe ich es nun verstanden!Ich dachte immer der andere Weg mittels Couchy wäre grundsätzlich auch möglich...(Bei der 1. Aufgabe sieht man das Supremum ja sofort)

Gruß

Rishi

26.05.2009, 20:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von akasharishi
Ich dachte immer der andere Weg mittels Couchy wäre grundsätzlich auch möglich...(Bei der 1. Aufgabe sieht man das Supremum ja sofort)

Der ist auch möglich. Allerdings ist manchmal die eine Formulierung, manchmal die andere angenehmer. Und in diesem Fall ist es eindeutig die Definition. Es gibt aber auch Fälle, in denen das Cauchykriterium besser geeignet ist.

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