Rosinenproblem

24.05.2009, 12:31

Pixxy

Rosinenproblem

Hallo allerseits!
Ich weiß, dass das Rosinenproblem schon vielfach diskutiert wurde und ich dachte eigendlich auch, dass ich es verstanden hätte, aber irgendwie kommt bei mir immer ein falsches Ergebnis raus und ich wüsste gerne, was ich falsch mache!

Frage:
Bei der Herstellung von Rosinenbrötchen fertigt der Bäcker einen Teig für 1000 Brötchen an. Für Rosienen besitzt er Packungen à 500 Rosinen. Wie viele Rosinen (auf ganze Packungen runden) muss der Bäcker nehmen, damit zu 99,9% jedes Brötchen mindestens eine Rosine enthält?

Mein Ansatz:
n=?
p= 1/1000
k=>1

P(x>0)= 1-P(X=0)=0,999

Mit Binominalverteilung:
von (n über k)*p^k*(1-p)^n-k)
1-999/1000^n=0,999
1-log(0,999)/log(999/1000)=n
n=0
Dieses Ergebnis ist wohl eindeutig falsch, aber ich weiß einfach nicht warum! Ich weiß, dass das richtige Ergebnis 7000 Rosinen, also 14 Packungen, aber ich komm einfach nicht drauf.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen, möglichst schnell, weil ich morgen eine Klausur schreibe.
Vielen Dank!!

24.05.2009, 13:39

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Erstmal sollte man seine Bezeichnungen erklären:

Zitat:

Original von Pixxy
P(x>0)= 1-P(X=0)=0,999

Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ? Die zufällige Anzahl Rosinen in einem Brötchen? verwirrt

Zitat:

Original von Pixxy
Ich weiß, dass das richtige Ergebnis 7000 Rosinen, also 14 Packungen

Das sehe ich anders: Richtig ist, dass es mindestens 13809 Rosinen, also 28 Packungen sein müssen.

24.05.2009, 13:56

Pixxy

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Ja genau X ist die Anzahl von Rosinen im Brötchen. Also bei P(X>0) die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Rosine im Brötchen ist.

24.05.2009, 14:05

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Dann verstehe ich dieses dein Ergebnis P(X>0) = 0.999 nicht. unglücklich

---------------

Sei

$\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ ... zufällige Anzahl Rosinen im k-ten Brötchen

bei Einsatz von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Rosinen. Dann ist, wie du weiter unten (!) richtig gerechnet hast

$\begin{eqnarray*} P(X_k>0) = 1-0.999^n \end{eqnarray*}$ .

Nun soll aber nicht nur in einem Brötchen, sondern in allen Brötchen jeweils mindestens eine Rosine sein! Du musst also nicht mir $\begin{eqnarray*} P(X_k>0) \end{eqnarray*}$ , sondern mit

$\begin{eqnarray*} p_n := P(X_1>0,X_2>0,\ldots,X_{1000}>0) \end{eqnarray*}$

weiterrechnen. Dieser Wert ist leider nicht so einfach berechenbar. Nimmt man allerdings die Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ an, - die zwar nicht gegeben ist, aber approximativ angenommen werden kann - dann ist

$\begin{eqnarray*} p_n \approx P(X_1>0)\cdot P(X_2>0) \cdot \ldots \cdot P(X_{1000}>0) = P(X_1>0)^{1000} = (1-0.999^n)^{1000} \end{eqnarray*}$ .

24.05.2009, 14:37

Pixxy

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Mhh, also wenn ich mit meiner Taschenrechnerfunktion ausprobiere, dann komme ich auf die 7000 Rosinen, also 14 Packungen.
P(X>0)=1-binomcdf(7000,(1/1000),0)=0,99909

Und wenn ich
(1-0,999^n)^1000 = 0,999 habe, dann ist doch
1-0,999^n=1000ste wurzel von 0,999
und das ist laut meinem Taschenrechner 0,9999989995
1-log(0,9999989995)/log(0,999) ist dann aber 0,999

verwirrt

24.05.2009, 14:45

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Zitat:

Original von Pixxy
1-0,999^n=1000ste wurzel von 0,999
und das ist laut meinem Taschenrechner 0,9999989995

Bis hierhin stimmt's - rechne danach bitte mal richtig weiter...

24.05.2009, 15:53

Pixxy

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Ich weiß nicht was ich falsch mache.. warscheinlich mache ich etwas mit der 1- falsch....

24.05.2009, 16:14

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Konzentration!!! Einfach schrittweises Auflösen der Ungleichung (nicht Gleichung!)

$\begin{eqnarray*} \left( 1-0.999^n \right)^{1000} & \geq & 0.999 \\ 1-0.999^n & \geq & \sqrt[1000]{0.999} = 0.999^{0.001} \\ 0.999^n & \leq & 1-0.999^{0.001} \\ \ln(0.999)\cdot n & \leq & \ln\left( 1-0.999^{0.001} \right) \\ n & \geq & \frac{\ln\left( 1-0.999^{0.001} \right)}{\ln(0.999)} \approx 13808.1 \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} n\geq 13809 \end{eqnarray*}$ .

24.05.2009, 16:19

Pixxy

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Ich habe meinen Fehler gefunden!!
es ist natürlich
1000ste wurzel von 0,999 -1=-0,999^n
und das ganze dann mal -1!
Tanzen

Dann komme ich auch die 13808 Rosinen, also die gerundeten 28 Packungen!
Aber wie kommt dann die Differenz zu dem Taschenrechnerergebnis zustande? Ist das Taschenrechnerergebnis das genauere?

24.05.2009, 16:21

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Von welcher Differenz (d.h. zu welchem TR-Ergebnis) sprichst du? verwirrt

24.05.2009, 16:26

Pixxy

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Also wenn ich mit meinem Taschenrechner rechne, dann reichen schon 7000 Rosinen aus um eine 99,9% wahrscheinlichkeit zu bekommen.

1-binomcdf(7000,(1/1000),0)= 0,99909..

Ganz, ganz lieben Dank für die Hilfe zur Lösung der Aufgabe!!

24.05.2009, 16:32

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Damit berechnest du die nötige Rosinenanzahl für folgendes Problem:

Zitat:

Wie viele Rosinen (auf ganze Packungen runden) muss der Bäcker nehmen, damit ein zufällig ausgewähltes Brötchen zu 99,9% mindestens eine Rosine enthält?

Oben steht aber eine andere Fragestellung:

Zitat:

Original von Pixxy
Wie viele Rosinen (auf ganze Packungen runden) muss der Bäcker nehmen, damit zu 99,9% jedes Brötchen mindestens eine Rosine enthält?

Ich dachte, den Unterschied zwischen beiden Problemen hätte ich hinreichend deutlich dargelegt, aber wie so oft hier im Board werden meine Beiträge nicht ordentlich gelesen - oder zumindest erst in der x-ten Wiederholung. unglücklich

24.05.2009, 16:39

Pixxy

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Das tut mir leid. Ich habe die Beiträge sehr aufmerksam gelesen, aber mir war nicht klar, was genau der Taschenrechner berechnet.
Nochmal ganz lieben Dank!

24.05.2009, 16:44

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Nochmal: Das ist keine Frage des Taschenrechners, sondern unterschiedlicher Problemstellungen. Wenn in der Musterlösung 14 statt 28 Packungen steht, dann war eine andere Aufgabe beabsichtigt, als sie dann letztendlich formuliert wurde - dann kann es auf jedes Wort ankommen, und eine Umstellung von Wortgruppen kann schon logisch den Sinn ändern!

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