Abgeschlossener UVR und Einheitskugel

24.05.2009, 13:41

chrizke

Abgeschlossener UVR und Einheitskugel

Hi,

mal eine kurze Frage:

Was ist ein abgeschlossener Untervektorraum? Also abgeschlossen und Untervektorraum getrennt sind mir schon klar, doch wie passt das beides zusammen. Ich dachte immer Vektorräume haben keinen Rand...

Oder übersehe ich hier was, weil das mit der Vorstellung nicht so ganz einhergeht?

Und dann: Ist die Einheitskugel in einem bel. Vektorraum ein UVR?

chrizke

24.05.2009, 13:59

Mathespezialschüler

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Hallo!
Eine Teilmenge ist abgeschlossen in einem normierten Raum, wenn für jede konvergente Folge mit Gliedern aus der Teilmenge der Grenzwert wieder in der Teilmenge liegt.

Stell dir eine Ebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ durch den Nullpunkt vor. Dann ist diese abgeschlossen. Anderererseits ist sie aber auch ein Untervektorraum. Also nennt man sie abgeschlossenen Untervektorraum.

Die Einheitskugel ist in einem $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum niemals ein Untervektorraum, da du dort mit beliebig großen Skalaren multiplizieren kannst und so auch Vektoren beliebiger Länge erhältst.

25.05.2009, 01:46

WebFritzi

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RE: Abgeschlossener UVR und Einheitskugel

Zitat:

Original von chrizke
Was ist ein abgeschlossener Untervektorraum? Also abgeschlossen und Untervektorraum getrennt sind mir schon klar, doch wie passt das beides zusammen?

Ein Untervektorraum ist eine (spezielle) Teilmenge eines Vektorraums, welcher natürlich erstmal keine Topologie auf sich hat. Sobald man aber eine Topologie auf ihm definiert (wie z.B. bei einem normierten oder topologischen Vektorraum), dann kann man von Abgeschlossenheit des Untervektorraums reden.

Sei V ein normierter Vektorraum und U ein Untervektorraum von V. Wenn U endlichdimensional ist (das ist insbesondere der Fall, wenn V endlichdimensional ist), ist U automatisch abgeschlossen. Es gibt aber Untervektorräume (in unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen), die nicht abgeschlossen sind.

Hier ein Beispiel für sowas:
Sei V der Vektorraum der quadratsummierbaren Folgen mit komplexen Zahlen als Folgengliedern, d.h.

$\begin{eqnarray*} V = \left\{(z_k) : z_k\in\mathbb C\,\forall k\in\mathbb N\;\text{ und }\,\sum_{k=1}^\infty|z_k|^2 < \infty\right\}. \end{eqnarray*}$

Eine Norm auf V ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \|(z_k)\| := \sqrt{\sum_{k=1}^\infty |z_k|^2}. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \tilde e_n \end{eqnarray*}$ die Folge, deren Glieder alle Null sind - außer dem n-ten Glied, welches Eins ist. Das entspricht dem n-ten Einheitsvektor im IR^n.

Wir definieren nun

$\begin{eqnarray*} U := {\rm span}\,\{\tilde e_n : n\in\mathbb N\}. \end{eqnarray*}$

Das ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen der Vektoren $\begin{eqnarray*} \tilde e_n. \end{eqnarray*}$ Dies ist offenbar ein Untervektorraum von V. Aber er ist nicht abgeschlossen, denn sein Abschluss ist der ganze Raum V, und es gilt $\begin{eqnarray*} U\neq V. \end{eqnarray*}$

Hier noch ein Satz (welcher mit Unterräumen recht wenig zu tun hat):

Satz: Sei V ein normierter Vektorraum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) V ist endlichdimensional.
(b) Die Einheitskugel in V ist kompakt.

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