zu orthogonalbasis ergänzen

24.05.2009, 17:30	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
zu orthogonalbasis ergänzen Hallo, ich habe eine allgemein frage zur Basis Ergänzung. ich habe hier ein Verfahren gefunden, um eine Orthogonalbasis zu ergänzen, nur meine Frage ist, warum sind die daraus resultierenden Vektoren orthogonal und funktioniert dies auch bei nicht orthogonalen Basen? hier ein BSP $\begin{eqnarray} v_1=(1,-2,1,3)^T \ v_2=(2,1,-3,1)^T \end{eqnarray}$ diese Vektoren schreibe ich als Zeilen in eine Matrix B und bringe diese auf Zeilenstufenform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 &-2&1&3 \\ 2&1&-3&1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&-1&1 \\0&1&-1&-1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun löse ich dies wie ein homogenes LGS auf und erhalte die Vektoren $\begin{eqnarray} w_1=(1,1,1,0)^T \ w_2=(-1,1,0,1)^T \end{eqnarray}$ welche jeweils paarweise zu $\begin{eqnarray} v_1, \ v_2 \end{eqnarray}$ orthogonal sind. in diesem Fall sind $\begin{eqnarray} w_1, \ w_2 \end{eqnarray}$ zueinander orthogonal, wären sie dies nicht, was müsste man dann tun? Das GramSchmitsche Orthogonalisierungsverfahren anwenden?
24.05.2009, 18:06	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist genau dann orthogonal zu $\begin{eqnarray} v_1,v_2 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} v_1^Tx=v_2^Tx=0 \end{eqnarray}$ gilt. Das ist äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine Lösung des Gleichungssystems $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} v_1^T \\ v_2^T \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Und dein Verfahren tut nun nichts anderes, als dieses Gleichungssystem zu lösen. Wären $\begin{eqnarray} w_1,w_2 \end{eqnarray}$ nicht orthogonal, so könnte man z.B. Gram-Schmidt auf $\begin{eqnarray} \{w_1,w_2\} \end{eqnarray}$ anwenden, ja. Frage an dich: Warum reicht es, Gram-Schmidt nur auf diese beiden Vektoren anzuwenden?
24.05.2009, 18:16	oerny	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die schnelle antwort, aber warum gilt $\begin{eqnarray} v_1^Tx=0 \end{eqnarray}$ bzw ist dies äquivalent zu $\begin{eqnarray} <v_1,x>=0 \end{eqnarray}$ zu deiner Frage, da die Vektoren $\begin{eqnarray} v1,v2 \end{eqnarray}$ schon paarweise zu $\begin{eqnarray} w_1 und w_2 \end{eqnarray}$ orthogonal sind, müssen nurnoch $\begin{eqnarray} w_1 und w_2 \end{eqnarray}$ orthogonalisiert werden. und noch eine Frage von mir: kann ich mit diesem "Verfahren" im allgemeinen immer eine Basis ergänzen?
24.05.2009, 19:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kannst du das. Warum das funktioniert, habe ich dir ja schon erklärt. Und daran ändert sich auch nichts in höheren Dimensionen oder bei einer anderen Anzahl von Vektoren.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »