nicht-koordinierte Normen

24.05.2009, 18:57

Sly

nicht-koordinierte Normen

Hallo allerseits!
Ich habe ein Problem, mir ein Beispiel auszudenken, wonach bei einer Aufgabe gefragt wird. Zunächst einmal der Kontext der Aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit den Normen $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1\leq \|\cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ .
Es seien $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ die vollständigen Hüllen von $\begin{eqnarray*} (E,\|\cdot\|_1) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (E,\|\cdot\|_2) \end{eqnarray*}$ .
Die gegebenen Normen heißen koordiniert, falls die stetige Fortsetzung der Identität von E $\begin{eqnarray*} j: E_2\to E_1 \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Die eigentliche Aufgabe war, zu zeigen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ sind koordiniert genau dann, wenn gilt:
Jede Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert, konvergiert auch in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ gegen Null.

Das habe ich bereits. Was ich aber nicht hinkriege, ist der Rest der Aufgabe:

Zitat:

Geben Sie ein Beispiel eines Raumes $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit zwei nicht-koordinierten Normen an.

Und hier dran verzweifle ich schon die ganze Zeit und brauche etwas Hilfe.
Auf jeden Fall sollte es ein Raum sein, dessen vollständige Hüllen bezüglich der Normen ganz unterschiedlich aussehen.

Da habe ich mir erst mal ein paar Folgenräume angeschaut. Den Raum $\begin{eqnarray*} c_{00} \end{eqnarray*}$ aller endlichen Folgen mit den Normen $\begin{eqnarray*} \|(a_n)\|_\infty = \sup_n |a_n|,\quad \|(a_n)\|_1 = \sum_{n=1}^\infty |a_n| \end{eqnarray*}$ erzeugen ja die zwei Banachräume $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ aller Nullfolgen und $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ aller endlich summierbaren Folgen.
Dann musste ich aber einsehen, dass wegen $\begin{eqnarray*} l^1\subset c_0 \end{eqnarray*}$ die Fortsetzung der Identität ja gerade injektiv sein müsste... (stimmt das?)

Dann habe ich mir überlegt, ob vielleicht gewisse $\begin{eqnarray*} L^p- \end{eqnarray*}$ Räume ein Beispiel liefern könnten. Dann könnte $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ zum Beispiel die Menge aller stetigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} (1,\infty) \end{eqnarray*}$ mit kompakten Trägern sein mit den Normen $\begin{eqnarray*} \|f\|_1 = \int_1^\infty |f|~d\lambda, \|f\|_2 = \left( \int_1^\infty |f|^2~d\lambda \right)^{1/2} \end{eqnarray*}$ . Die vollständigen Hüllen wären dann ja $\begin{eqnarray*} L^1=L^1(1,\infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L^2=L^2(1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Hier gilt dann eben $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_2\leq \|\cdot\|_1 \end{eqnarray*}$ wegen der Jordan-Hölder-Ungleichung.

Aber egal wieviel ich rumprobiert habe...irgendwie kam es nicht raus. Der reinen Anschauung widerstrebt es auch eigentlich, dass diese Normen nicht koordiniert sind: Schmiegt sich die eine Funktion "quadratisch" an die Nullfunktion, sollte sie das ja auch "normal" tun. (wenn verständlich wird, was ich sagen möchte)

Gehen meine Ansätze überhaupt in die richtige Richtung? Bitte bitte gebt mir doch ein paar Tipps, welche Räume ich mir denn anschauen sollte...Ich wäre sehr dankbar. smile

Vielleicht ein gutes Thema für unseren Roundhouse-kickenden Funktionalanalytiker...? Augenzwinkern

24.05.2009, 22:10

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Betrachte den Vektorraum $\begin{eqnarray*} E:=R([0,1]) \end{eqnarray*}$ aller auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbaren Funktionen und darauf die beiden Normen

$\begin{eqnarray*} \|f\|_{\infty}:=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|f\|_1:=\int_0^1~|f(x)|~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \|f\|_1\leq \|f\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2:=(E,\|\cdot\|_{\infty}) \end{eqnarray*}$ ist bereits vollständig. Die Vervollständigung von $\begin{eqnarray*} (E,\|\cdot\|_1) \end{eqnarray*}$ dürfte $\begin{eqnarray*} (L^1([0,1]),\|\cdot\|_1) \end{eqnarray*}$ sein. Die Inklusion ist aber nicht injektiv, da verschiedene Funktionen wegen der fast überall-Identifizierung in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ das gleiche Bild haben können. Oder anders: Die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x):=f(x):=\begin{cases} 1 & \text{für }x=0 \\ 0 & \text{für }0<x\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ konvergiert in beiden Räumen, in $\begin{eqnarray*} L^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ gegen Null, in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ aber gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

24.05.2009, 22:39

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...Dieses Beispiel hatte ich auch schon im Kopf. Das klappt meines Erachtens jedoch nicht, denn $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1 \end{eqnarray*}$ ist keine Norm auf $\begin{eqnarray*} R([0,1]) \end{eqnarray*}$ :

Es gilt ja schließlich (mit deinem f)

$\begin{eqnarray*} f\neq 0 \end{eqnarray*}$ (Nullfunktion), aber es gilt $\begin{eqnarray*} \|f\|_1 = 0 \end{eqnarray*}$

24.05.2009, 23:05

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das ist nur eine Norm, wenn man sich auf die stetigen Funktionen beschränkt. Dann bringt einem das Beispiel aber auch nichts. Sorry für die Verwirrung.

25.05.2009, 07:36

kaguya_hime

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wär's mit folgendem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} <br /> \|f\| = |f(0)| + \|f\|_1<br /> \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} C_0(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ (stetige Funktionen mit kompaktem Träger).

PS: im Vergleich zur gewöhnlichen 1-Norm.

25.05.2009, 14:44

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Gutes Beispiel. Als Folge wähle z.B.

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \begin{cases}1-n|x| & ,\,x\in \left[ -\frac 1 n,\frac 1 n \right]\\0 & \text{sonst}\end{cases}. \end{eqnarray*}$

25.05.2009, 19:59

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das hört sich doch gut an. Ich versuche, das mal detailliert nachzuvollziehen und melde mich dann noch mal, falls ich es sauber aufgeschrieben habe...

Aber vielen Dank schonmal! Das hat mir echt gefehlt.

25.05.2009, 20:39

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

So...allzu viele Formalitäten nenne ich jetzt nicht, aber soweit das, was ich grob aufgeschrieben habe.

E und die beiden Normen definiert wie oben, ebenso die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \| f_n-f_m \|_2 = \left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right| \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ wirklich eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ . Sie konvergiert aber gegen $\begin{eqnarray*} f = \left[ t \mapsto \begin{cases} 1 &\quad, t=0 \\ 0 &\quad, \text{sonst}\end{cases} \right] \neq 0 \end{eqnarray*}$ , während es unter $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1 \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

25.05.2009, 20:54

kaguya_hime

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, $\begin{eqnarray*} \| f_m -f_n \|_2 \end{eqnarray*}$ ist ein etwas komplizierterer Ausdruck, aber man kann ihn einfach nach oben abschätzen.^^

25.05.2009, 21:06

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab es halt so ausgerechnet: Für $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_n< f_m \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \|f_n-f_m\|_2 = |f_n(0)-f_m(0)| + \int_\mathbb{R} f_m-f_n~d\lambda = \int_{-1/m}^{1/m} 1-m|x|~dx - \int_{-1/n}^{1/n} 1-n|x|~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2\left( \int_0^{1/m} 1-mx~dx - \int_0^{1/n} 1-nx~dx\right) = 2( [x-\frac{m}{2} x^2]_0^{1/m} - [x-\frac{n}{2}x^2]_0^{1/n}) = 2( (\frac{1}{m}-\frac{1}{2m})-(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n})) = \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und wohlbemerkt dann, wenn eben $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$

25.05.2009, 22:05

kaguya_hime

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, die Norm Nummer 2 war ja die $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ -Norm.

Ich muss mal wieder raus aus dem Hilbertraum und frische Luft schnappen.^^

26.05.2009, 00:07

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sly
Also ist $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ wirklich eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ . Sie konvergiert aber gegen $\begin{eqnarray*} f = \left[ t \mapsto \begin{cases} 1 &\quad, t=0 \\ 0 &\quad, \text{sonst}\end{cases} \right] \neq 0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn E_2 für ein Raum? Weißt du es? Ich weiß es nicht. Wenn du es nicht weißt, kannst du also auch nicht sagen, gegen welches Element aus E_2 die Folge konvergiert. Hauptsache, sie ist Cauchy. Das war gefordert.

26.05.2009, 09:17

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, das reicht schon, haste Recht. Aber es müsste doch eigentlich gelten

$\begin{eqnarray*} E_2 = \{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;\text{messbar}\; | \|f\|_1 < \infty\} / \sim \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ die Äquivalenzrelation ist definiert durch

$\begin{eqnarray*} f\sim g\quad\Leftrightarrow\quad f(0)=g(0)\quad\wedge\quad f=g\quad\lambda- \end{eqnarray*}$ fast überall.

Also so eine Art modifizierter L^1 Raum, wo eben im Nullpunkt nichts identifiziert werden darf ^^

Neue Frage »

Antworten »

nicht-koordinierte Normen

Verwandte Themen