Grenzen bei Mehrfachintegral

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16.09.2006, 17:05	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzen bei Mehrfachintegral Hallo Leute ich habe da so meine Probleme wenn es darum geht bei Dreifachintegralen die richtigen Grenzen su finden. Ich schreibe mal eine Aufgabe hier hin, wäre schön wenn mir da mal einer helfen könnte. Danke schonmal. 1.Aufgabe: Berechnen Sie das Dreifachintergral $\begin{eqnarray} \int_{B}~z \sqrt{x^2+y^2} dV \end{eqnarray}$ wobei der Bereich B begrenzt wird durch die Flächen y=0, z=0, z=1 und x^2 + y^2=2x mit y>0. Gehen sie von x,y,z über zu Zylinderkoordinaten. Also meine Grenzen wären bei dieser Aufgabe in Zylinderkoordinaten: Z= 0 bis 1 r= 0 bis 2*cos (phi) phi= 0 bis Pi/2 Gruß Tim
16.09.2006, 19:30	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Also ich hab mir das jetzt paar mal angeschaut und komme zu denselben Grenzen wie du. Hätte erst gesagt von -pi/2 bis pi/2, aber da y>0 sein soll, müsste das mit 0<phi<pi/2 hinhauen. Hoffe, wir beide liegen daher richtig lg
16.09.2006, 19:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ihr liegt richtig.
16.09.2006, 19:54	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke anna lyse, danke Arthur. Ich werde nachher nochmal ne aufgabe reinsetzen, hoffe ihr könnt mir dann nochmal helfen.
16.09.2006, 21:31	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
So hier habe ich die nächste Aufgabe, hoffentlich kann mir wieder einer helfen. Berechnen Sie durch ¨Ubergang zu Polarkoordinaten das Doppelintegral $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~\sqrt{1-y^2-x^2}~dx \end{eqnarray}$ Der Integrationsbereich B ist dabei der Kreis mit dem Mittelpunkt (0,0) und dem Radius r = 1. Anfallende Integrale berechne man von Hand! hier würde ich sagen: r von 0 bis 1 Phi von 0 bis 2*Pi Und dann muss mann doch auch noch das x und y unter der Wurzel in Polarkoordinaten schreiben oder???
16.09.2006, 21:39	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
hi Also formell sieht es eher nicht nach einem Doppelintegral aus. Grenzen dürften stimmen, Ja im Integrand muss noch umgeformt werden. x = r cos (phi) y= r sin (phi) Die Funktionaldeterminante müsste r ergeben, nicht vergessen im Integrand lg
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16.09.2006, 21:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~\sqrt{1-y^2-x^2}~dx \end{eqnarray}$ für das Doppelintegral ist aber sehr merkwürdig - besser gesagt falsch. Du meinst sicher $\begin{eqnarray} \iint\limits_{B} ~ \sqrt{1-y^2-x^2}~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray}$
16.09.2006, 22:14	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
OH sorry jo genau das meinte ich.
16.09.2006, 22:20	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
So und alle guten Dinge sind drei Ein räumlicher Bereich B werde begrenzt durch die Zylinderfläche x^2 +y^2 = 1 und die Ebenen z = 0 und x+z = 1. Man berechne mittels Zylinderkoordinaten das Bereichsintegral $\begin{eqnarray} \int_{B}~(1+z)~dxdydz \end{eqnarray}$ Tja hier muss ich zugeben, das ich nicht wirklich eine Idee habe Ausser vielleich das r von 0 bis 1 geht.
16.09.2006, 22:26	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Also dein Radius ist schon mal nicht verkehrt. Jetzt wird nun die Kreisfläche hochgezogen bis x+z=1 beginnend bei z=0. x+z=1 ist ja z in Abhängigkeit von x, also z=1-x. Wie man in Zylinderkoordinaten transformiert, hast du schon gezeigt. Wie würdest du denn jetzt weitermachen? lg Edit: Zur ersten Aufgabe, die du gestellt hast, da hab ich für das Volumen $\begin{eqnarray} \frac{8}{9} \end{eqnarray}$ raus, stimmt das? (Übe selber noch^^)
16.09.2006, 22:50	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso ja gut dann kann der Winkel ja nur von 0 bis 2Pi gehen oder?? also phi von 0 bis 2pi ja und dann halt r von 0 bis 1 und dann z von 0 bis 1-x Oder ?? Warte die erste rechne ich mal eben, habe die selber noch nicht mit diesen Grenzen gerechnet.
16.09.2006, 22:55	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
jo $\begin{eqnarray} \frac{8}{9} \end{eqnarray}$ habe ich auch raus. Was studierst du denn wenn ich mal fragen darf, und wo??
16.09.2006, 23:00	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Ich würde nun noch das x in dem z-Bereich ersetzen, also: z= 1 - r cos(phi). Rechne das gleich auch nochmal durch. Beginne im Herbst Wirtschaftsmathematik in Freiberg(Sachs). lg
16.09.2006, 23:16	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der Aufgabe habe ich $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \pi \end{eqnarray}$ raus. Hoffe du auch Wirtschaftsmathematik aso. Und kommst du aus Freiburg oder muss du da erst noch hin ziehen??
16.09.2006, 23:29	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm also irgendwas stimmt nicht. So sieht bei mir der Anfang aus, bevor es richtig losgeht^^ $\begin{eqnarray} \int_{r=0}^{1}\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{1-r\cos (\phi)}(1+z)\cdot r dzd\phi dr \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{13}{8}\pi \end{eqnarray}$ hab ich als Ergebnis
16.09.2006, 23:44	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
jo ich habe meine fehler gefunden. Warte mal kurz
16.09.2006, 23:53	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
so jetzt habe ich auch dein Ergebniss raus. Danke Ich hätte sonst die 3/2 Pi noch geglaubt.
17.09.2006, 00:23	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
Da habe ich noch eine Aufgabe: Berechnen Sie das Doppelintegral $\begin{eqnarray} \int_{B}~(x^2+y^2)~dxdy \end{eqnarray}$ wenn der Integrationsbereich B von der Kurve x^2 + y^2 = 2ax (a > 0) begrenzt wird. ( ¨Ubergang zu Polarkoordinaten!) Also ich würde die Grenzen phi von 0 bis 2Pi und r von 0 bis 2ar*cos phi
17.09.2006, 00:33	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm so ählich war schon die erste Aufgabe von den Grenzen her. Die Grenzen beim Radius stimmen leider nicht ganz. lg edit: bei den phi-grenzen wäre ich mir daher auch nicht so sicher. Der Kreis-Mittelpunkt dürfte nicht in (0,0) liegen
17.09.2006, 00:40	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmm.... jo die Grenze von r geht von 0 bis 2acos phi. Eine Aufgabe hätte ich noch. Hast du noch Lust dir die anzugucken?? ja stimmt, dann müsste man doch für die phi Grenzen von -pi/2 bis +pi/2 gehen oder??
17.09.2006, 00:44	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mal etwas konkreter noch zur letzten. Der Bereich B ist ein Kreis mit dem MP(a,0) mit Radius a. Daher bin ich der Meinung, dass die Grenzen bei Phi von -Pi/2 bis Pi/2 laufen müssten. edit: richtig, na für eine aufgabe hätte ich noch lust
17.09.2006, 00:51	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
Man berechne durch ÜUbergang zu Zylinderkoordinaten das Integral $\begin{eqnarray} \int_{B}~x^2y~dV \end{eqnarray*}$ wobei der Bereich B begrenzt wird durch x>=0 ; y>=0 ; x^2+y^2<=1 ; 0<=z<=1 Also gut z ist ja klar von 0 bis 1 r von 0 bis 1 und phi würde ich sagen geht von 0 bis pi/2
17.09.2006, 00:56	anna_lyse	Auf diesen Beitrag antworten »
jup, müsste soweit stimmen. also nun müsste es ja mit den Grenzen langsam funktionieren, gut gemacht Ich werd auch noch morgen bisserl üben, ich schick dir mal nen Link per PM, wo du noch paar Aufgaben finden kannst, wenn es dich interessiert. lg
17.09.2006, 00:59	tim83	Auf diesen Beitrag antworten »
jo super. Alles klar danke erstmal. Jo kannste du gerne machen. Habe dir auch gerade ne pn gechickt.

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