Beweis, dass Menge konvex und abgeschlossen ist

26.05.2009, 00:08	Mathe-Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Menge konvex und abgeschlossen ist Nachdem ich mir mein Skript schon ca. 15 mal durchgelesen habe und auch im Internet schon Stunden mit der Suche von für mich verwertbaren Tipps verbracht habe, wende ich mich hilfesuchend an euch. Zu zeigen ist, dass die Menge K konvex und abgeschlossen ist. $\begin{eqnarray} K := \{~\binom r w \in ~\mathbb R ^{m+1} \| ~\binom r w = M ~\binom t x, x \in ~\mathbb R ^{n}, t \geq 0, x \geq 0\} \end{eqnarray}$ Was ich bis jetzt rausfinden konnte, sollte das mittels $\begin{eqnarray} \lambda x + (1-\lambda)y \end{eqnarray}$ funktionieren. x und y werden in meinem Beispiel wohl r und w sein - aber was genau mach ich jetzt damit? Mit den ganzen Beweisen komm ich irgendwie gar nicht zurecht. Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
26.05.2009, 02:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, entweder du hast die Aufgabe nicht vollständig abgeschrieben oder sie ist grottenschlecht gestellt. Was ist M? Eine Matrix wahrscheinlich. Wieviele Zeilen und Spalten hat sie? Wieviele Einträge hat t, und wieviele haben r und w? Man kann die Menge auch gleich wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} K = \{Mx : x\ge 0\}. \end{eqnarray}$ Dass diese Menge konvex ist, ist trivial und folgt aus der Linearität von M. Die Abgeschlossenheit ist (denke ich) wiederum nicht trivial, wenn M nicht injektiv ist. Trotzdem sollte die Aussage stimmen. EDIT: Siehe z.B. auch hier: http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/h...=895534#v895534
26.05.2009, 11:13	Mathe-Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab die Angabe schon richtig abgeschrieben Hab aber noch zusätzliche Infos bekommen: $\begin{eqnarray} M:=\begin{pmatrix} -z^ & c^T \\ -b & A \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A ist eine m x n - Matrix. $\begin{eqnarray} r \in ~\mathbb R , w \in ~\mathbb R^m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} r \\ w \end{pmatrix} \in ~\mathbb R^{m+1} \end{eqnarray*}$ M ist eine (m+1) x (n+1) - Matrix. Hilft der Hinweis auf starke Dualität (lineare Optimierung) etwas? Aber zeigen muss ich die Konvexität ja trotzdem über die oben genannte Formel (mit Lambda) oder etwa nicht?

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