Schar: Funktion ohne Extrempunkt finden

16.09.2006, 18:07

co0kie

Schar: Funktion ohne Extrempunkt finden

Hallo meine lieben smile

Ich hab hier ne aufgabe, bei der gefragt ist, für welchen parameter k der graph der funktion aus der funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ keinen extrempunkt hat.

so ganz spontan würd ich ja sagen, dass dann $\begin{eqnarray*} f'_k(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss .. aber da hörts dann bei mir schon auf, weil sowas kann ich ja nicht einfach nach irgendwas auflösen ..

die funktionsschar ist:
$\begin{eqnarray*} f'_k(x) = -x^3 + kx^2 + (k-1)x \end{eqnarray*}$

eigentlich gibt es doch keine funktion dieser schar, die keine extrempunkte hat, denn egal was k ist, die funktion ist immer dritten grades, und funktionen dritten grades haben doch auf jeden fall extrempunkte, oder?

16.09.2006, 18:13

zweiundvierzig

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Spontan würde ich sagen: Setze $\begin{eqnarray*} f'_k(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''_k(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , berechne die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte und setze diese Werte nacheinander in $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ ein und löse nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ auf. Dann weißt Du die Werte, für die die Schar einen Extremwert hat. Für alle anderen hat sie dann keinen.

16.09.2006, 18:13

Lazarus

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Polynome dritten Grades müssen keineswegs immer einen Extrempunkt besitzen:

Was muss denn für einen Extrempunkt gelten ?
f'(x)=0 reicht nicht aus!

16.09.2006, 18:18

co0kie

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oh natürlich!!

also f'(x) = 0 nach x auflösen und dieses x dann in f''(x) = 0 einsetzen und nach k auflösen, oder?

Dann stimmt es doch??

Ich hab noch ne frage:

gibt es auch parameter, für die der graph keinen wendepunkt hat??

das muss doch dann genauso gemacht werden, wie die bestimmt des parameters k, bei dem der graph keinen extrempunkt hat, nur halt mit f''(x) und f'''(x) = 0, oder?

16.09.2006, 18:21

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von co0kie
oh natürlich!!

also f'(x) = 0 nach x auflösen und dieses x dann in f''(x) = 0 einsetzen und nach k auflösen, oder?

Dann stimmt es doch??

Nein, $\begin{eqnarray*} f_k''(x)\neq0 \end{eqnarray*}$ und Du willst ja etwas über die Schar der Ausgangsfunktion wissen.

Zitat:

Original von co0kie
Ich hab noch ne frage:

gibt es auch parameter, für die der graph keinen wendepunkt hat??

das muss doch dann genauso gemacht werden, wie die bestimmt des parameters k, bei dem der graph keinen extrempunkt hat, nur halt mit f''(x) und f'''(x) = 0, oder?

Prinizipiell ja, aber $\begin{eqnarray*} f_k'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

16.09.2006, 18:23

co0kie

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Nein, ich will doch beweisen, dass für diese parameter KEINE extrem- bzw wendepunkte existieren!!

Wenn ich f''(x) ungleich null mache, dann beweise ich doch, dass es dort welche gibt (wenn f'(x) = 0 ist)!

ich bin verwirrt unglücklich

16.09.2006, 18:42

klarsoweit

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Also rechne doch mal los. Bestimme die Extremwerte von $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ . Die werden irgendwie von k abhängen. Alle anderen k leifern die Funktionen, die keine Extremwerte haben.

16.09.2006, 21:07

co0kie

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Habe es hinbekommen.

Habe $\begin{eqnarray*} f'_k(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gesetzt und nach x aufgelöst. Das habe ich dann in $\begin{eqnarray*} f''_k(x) = 0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und nach k aufgelöst. Da $\begin{eqnarray*} f'''_k(x) = -6 \end{eqnarray*}$ ist, existiert an der Stelle x, für die $\begin{eqnarray*} f'_k(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''_k(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, kein Extremum!

Mein Ergebnis für k: $\begin{eqnarray*} k = \pm\sqrt{5\frac{1}{4}} - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Und so sehen die Funktionen mit den Parametern aus:

____________________________________________

Danke euch allen für eure Hilfe!! ^^

16.09.2006, 22:37

Sly

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Zitat:

Jede ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau einen Wendepunkt.
Also kurz: nein

16.09.2006, 23:39

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Das geht höchstens mit $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , wobei deine Fkt. dann nicht mehr wirklich 3. Grades ist.

Und wenn du darauf hinaus wolltest, dass die Funktion evtl. nur Sattelpunkt besitzt... auch Sattelpunkte sind Wendestellen, aber mit der besonderen Eigenschaft, dass die Tangente in diesem Punkt den Anstieg $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ hat.

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