Abstand Punkt - Ebene -- Verständnisfragen

16.09.2006, 18:33

The Bearclaw

Abstand Punkt - Ebene -- Verständnisfragen

Hallo, ich wiederhole gerade Mathe speziell ein paar Aufgaben. Im Moment bin ich beim Thema "Der Abstand eines Punktes von einer Ebene".

Hierbei habe ich speziell zu manchen Aufgaben einige Fragen:

Zitat:

Aufgabe 5.
Gegeben ist die Ebene $\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + o \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a.) Welchen Abstand von E haben die Punkte $\begin{eqnarray*} O (0;0;0), A (1;0;-2), B (1;2;-2), C (-9;1;2) \end{eqnarray*}$ ?

b.) Berechnen Sie die Fußpunkte der Abstandslote auf die Ebene.

Die Aufgabe 5a schaffe ich hier problemlos, indem ich die Hesse-Form anwende (PG in NG umwandeln, dann $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ normieren und dann mit der Hesseform den Abstand berechnen)

Jedoch verstehe ich nicht ganz, was bei der Aufgabe 5b verlangt wird und wie man das berechnen kann. Ich bitte da um Hilfe!

Andere Aufgabe

Zitat:

Aufgabe 4
Welchen Abstand hat der Nullpunkt von der Ebene durch die Punkte $\begin{eqnarray*} A (2;2;2), B (2;1;1), C (0;1;1) \end{eqnarray*}$ ?

Was muss man da machen? Die Ebenegleichung von E bildenn mithilfe den 3 Punkten (A als Aufpunkt übernehmen, die Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ bestimmen?!)
Dannach die Hesse-Form von der Ebenengleichung bilden (PG in NG umwandeln, dann $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ normieren und dann mit der Hesseform den Abstand berechnen) und hier den Nullpunkt $\begin{eqnarray*} O (0;0;0) \end{eqnarray*}$ einsetzen?

16.09.2006, 19:09

sqrt(2)

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RE: Abstand Punkt - Ebene -- Verständnisfragen

Zitat:

Original von The Bearclaw
Jedoch verstehe ich nicht ganz, was bei der Aufgabe 5b verlangt wird und wie man das berechnen kann. Ich bitte da um Hilfe!

Ein Lot (im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ) steht senkrecht auf einer Ebene. Das Lot eines Punktes P auf eine Ebene E ist also seine senkrechte Projektion auf E.

Zitat:

Original von The Bearclaw
Was muss man da machen? Die Ebenegleichung von E bildenn mithilfe den 3 Punkten (A als Aufpunkt übernehmen, die Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ bestimmen?!)
Dannach die Hesse-Form von der Ebenengleichung bilden (PG in NG umwandeln, dann $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ normieren und dann mit der Hesseform den Abstand berechnen) und hier den Nullpunkt $\begin{eqnarray*} O (0;0;0) \end{eqnarray*}$ einsetzen?

So kann man es machen, ja.

16.09.2006, 19:18

The Bearclaw

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RE: Abstand Punkt - Ebene -- Verständnisfragen

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von The Bearclaw
Jedoch verstehe ich nicht ganz, was bei der Aufgabe 5b verlangt wird und wie man das berechnen kann. Ich bitte da um Hilfe!

Ein Lot (im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ) steht senkrecht auf einer Ebene. Das Lot eines Punktes P auf eine Ebene E ist also seine senkrechte Projektion auf E.

Äh.. und wie kann man das berechnen?

Desweiteren: Danke für die Antwort... Freude

16.09.2006, 20:10

riwe

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RE: Abstand Punkt - Ebene -- Verständnisfragen
verwirrt

wenn du bereits die HNF hast, aus aufgabe a), warum setzt du nicht einfach auch die anderen punkte ein, das gilt ja nicht nur für den punkt O(0/0/0)?
verwirrt

und wenn du die HNF aufgestellt hast, dann kennst du doch den normalenvektor der ebene, oder?
werner

16.09.2006, 20:17

marci_

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für den lotfußpunkt: lege durch die punkte jeweils eine gerade, die die ebene orthogonal schneidet...
dabei ist der normalenvektor dann natürlich der richtungsvektor der geraden...

16.09.2006, 22:51

The Bearclaw

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Zitat:

Original von marci_
für den lotfußpunkt: lege durch die punkte jeweils eine gerade, die die ebene orthogonal schneidet...
dabei ist der normalenvektor dann natürlich der richtungsvektor der geraden...

Jetzt ist mir einigens viel klarer geworden... inzwischen habe ich auch die Ergebnisse raus, die mit der Kontrolllösung übereinstimmen.

Danke! smile

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