2^n -te Einheitswurzeln

26.05.2009, 19:05

anne007

2^n -te Einheitswurzeln

Hallo,
ich soll zeigen, dass unter allen 2^n - ten Einheitswurzeln, genau 2^(k-1) primitive 2^k -te Einheitswurzeln sind. (k=1,...,n)

also die 2^1-ten Einheitswurzeln sind ja
e1 = -1
e2 = 1

die 2^2-ten Einheitswurzeln:
e1 = i
e2 = -i
e3 = -1
e4 = i

usw...

so jetzt versteh ich nich wie ich die anzahl der primitiven einheitswurzeln ermitteln soll, zu mal ich das mit dem k irgendwie verwirrend finde...
und was ist ne primitive einheitswurzel??

Kann mir da jemand weiterhelfen?

26.05.2009, 21:05

tigerbine

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RE: 2^n -te Einheitswurzeln

Zitat:

Original von anne007
und was ist ne primitive einheitswurzel??

Bevor man die Aufgabe angeht, sollte man die Angaben verstehen. http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel

tigerbine out.

Wink

26.05.2009, 22:35

anne007

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naja hab ich eigentlich verstanden, also was EWs sind usw.
aber die aufgabe raffe ich irgendwie nicht

26.05.2009, 22:37

tigerbine

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Du hast doch schon mal kein angefangen. Zeig doch mal wie sich da die Behauptung bestätigt.

26.05.2009, 22:44

anne007

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okay
also ich habe n = 1 gesetzt

und also habe ich die 2-ten einheitswurzeln:

e1 = -1
e2 = 1

jetzt läuft mein k von 1 bin 2

k=1:

behauptung: es gibt 2^(k-1) = 1 primitive 2^k = 2-te einheitswurzeln
aber ich habe doch zwei? siehe oben??

26.05.2009, 22:49

anne007

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ne schwachsinn da läuft garnix..
das heisst nur das k min. 1 sein muss ?

26.05.2009, 22:53

tigerbine

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Zitat:

Unter allen $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ - ten Einheitswurzeln, genau $\begin{eqnarray*} 2^{k-1} \end{eqnarray*}$ primitive $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzeln sind. (k=1,...,n)

Eine $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzel $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ heißt primitiv, falls $\begin{eqnarray*} \zeta^m\ne 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=1,\ldots,2^{n}-1 \end{eqnarray*}$ gilt.

n=1 => k=1 und m=1.

Da finden wir doch genau eine. Wie gefordert. Nun mal für n=2

26.05.2009, 23:05

anne007

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okay für n = 2

gibts 2 primitive:

die 1 und die i ?
-i nicht, da -i^2 = 1 ist ?

26.05.2009, 23:08

tigerbine

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Der Ausschluss ist richtig. Nun zeig aber mal, wie du die anderen konkret nachweist.

26.05.2009, 23:13

anne007

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du meinst allgemein?

hmm es sind ja immer halb soviele primitive EWs wie Einheitswurzeln...
aber moment ich habe vorher noch eine andere Frage.

wieso steht denn da 2^(k-1) und nicht 2^(n-1) ?? wenn k sowieso n ist?

26.05.2009, 23:23

tigerbine

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Wieso ist k = n? Man soll alle Fälle für k untersuchen k=1, k=2,... k=n. Nur für n=1 reduziert sich das eben auf einen Fall.

Bei n=2 ist ein konkretes nachrechnen ja noch nicht zu viel verlangt. Du musst ja irgendwie auf die allgemeine Idee kommen.

k=1

Wie viele primitive 2te- Einheitswurzeln finden wir also unter den 4 4ten Einheitswurzeln? Mit Nachweis bitte.

k=2

Wie viele primitive 4te- Einheitswurzeln finden wir also unter den 4 4ten Einheitswurzeln? Mit Nachweis bitte.

26.05.2009, 23:48

anne007

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k=1:

-> es gibt eine primitive 2-te einheitswurzel:

e1 = i -> keine 2-te prim. EW

e2 = -1
->-1^1 =-1
->-1^2 = 1 -> keine 2-te prim. EW

e3 = -i -> keine 2-te prim. EW

e4 = 1 -> keine 2-te prim. EW

ANZAHL = 0 (komisch)??

27.05.2009, 00:08

tigerbine

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n=2
Die EW lauten 1,i,-1,i

k=2

Wie viele primitive 4te- Einheitswurzeln finden wir also unter den 4 4ten Einheitswurzeln? Einfach 3x Potenzieren

1,1,1 -> nö.

i,-1,-i -> jo.

-1,1,-1 -> nö

-i, -1, i -> jo

also finde ich $\begin{eqnarray*} 2 = 2^2-1 \end{eqnarray*}$ wie gefordert.

k=1

Wie viele primitive 2te- Einheitswurzeln finden wir also unter den 4 4ten Einheitswurzeln? Einfach1x Potenzieren

Dazu muss das ja erstmal eine 2te Einheitswurzel sein

1 -> nö

-1 -> jo.

Wieder ist die Forderung erfüllt.

Warum wurde nun wohl 2^n gewählt? Damit sollte sich ja ein Teil erschlagen lassen (Induktion oder wie auch immer). Konkret muss man imho den Beweis für k=n antreten.

27.05.2009, 21:27

anne007

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achsoo ist das zu verstehen...

also ich versuche mir das nochmal kurz klar zu machen:

Wir habe alle 2^n-te Einheitswurzeln
also 2, 4, 8, 16, 32....

und für diese EWs finden wir 2^(k-1) primitive k-te EWs für k = 1...n

also:
n=2: 1
n=4: 1, 2
n=8: 1,2,4
n=16: 1,2,4,8
usw.

so das bedeutet das in n+1 immer alle (n)ten primitiven EWs aus n enthalten sind + die n+1 -ten primitiven EWs mit der anzahl n/2...

aber wir schreib ich das formal auf, also induktion wär schon nett..

27.05.2009, 23:40

tigerbine

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So wie du es schreibst kannst du es nicht folgern. du solltest einmal nachweisen, dass die $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ -ten Einheitswurzeln, etc. auch $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzeln sind.

Dann mal den beweis antreten, dass es $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ primitive $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzeln gibt.

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