stetige verteilung - hilfe zu verteilungsfunktion

26.05.2009, 21:43

stetigerverteiler

stetige verteilung - hilfe zu verteilungsfunktion

hey,

ich habe folgende aufgabe die ich nicht ganz schaffe. ich habe die funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ce^x, x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = ce^{-x}, x\geq0 \end{eqnarray*}$

die erste aufgabe war es c zu berechnen. c = 1/2

das war kein problem. nur muss ich jetzt die dazugehörige verteilungsfunktion F(x) bestimmen. ist der folgende ansatz damit richtig:

$\begin{eqnarray*} Fx(x) = \int_{0}^{x}~\frac{1}{2}*e^x~dt = \left[\frac{1}{2}*e^x\right]_{0}^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Fx(x) = \int_{-x}^{0}~\frac{1}{2}*e^{-x}~dt = \left[\frac{1}{2}*e^{-x}\right]_{-x}^{0} \end{eqnarray*}$

ich bin mir auch hier nicht sicher ob ich das mit den grenzen richtig gemacht habe verwirrt

oder ist anstatt des x bei den grenzen ein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen, vielen dank

27.05.2009, 00:34

frank09

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RE: stetige verteilung - hilfe zu verteilungsfunktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Fx(x) = \int_{-x}^{0}~\frac{1}{2}*e^{-x}~dt = \left[\frac{1}{2}*e^{-x}\right]_{-x}^{0} \end{eqnarray*}$

Du hast den negativen Exponenten beim Aufleiten unterschlagen.
Dann kannst du auch von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ an integrieren.

27.05.2009, 16:06

stetigerverteiler

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hallo, heisst das jetzt ich bilde das wie folgt:

$\begin{eqnarray*} Fx(x) = \int_{-\infty}^{0}~\frac{1}{2}*e^{-x}~dt = \left[\frac{1}{2}*e^{-x}\right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

daher heisst das für mich das die verteilungsfunktion 1/2 ist, für x<0 und für x >= 0 ?

danke, lg

27.05.2009, 16:25

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Völliger Unsinn. unglücklich

Die Verteilungsfunktion ist immer

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(u) ~ \dd u \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Das gilt auch dann, wenn die Funktionsvorschrift von $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ nach Intervallen getrennt vorliegt - dann muss eben bei der konkreten Berechnung auch das Integral (*) aufgeteilt werden!

Sollten das viele getrennte Intervalle sein, so ist folgende sich aus (*) ergebende Formel bei der Berechnung hilfreich:

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = F_X(x_0) + \int\limits_{x_0}^x f_X(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_0\leq x \qquad (**) \end{eqnarray*}$ .

(**) ermöglicht es, sich auf der Zahlengerade "von links nach rechts" hochzuhangeln, wenn es um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ geht:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(u) ~ \dd u = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{2} e^u ~ \dd u = \left[ \frac{1}{2} e^u \right]_{u=-\infty}^x = \frac{1}{2} e^x \end{eqnarray*}$

2.Fall: $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = F_X(0) + \int\limits_0^x f_X(u) ~ \dd u = \frac{1}{2} + \int\limits_0^x \frac{1}{2} e^{-u} ~ \dd u = \frac{1}{2} + \left[ -\frac{1}{2} e^{-u} \right]_{u=0}^x = 1-\frac{1}{2} e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

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