Schur-Zerlegung: Untere Dreiecksmatrix

26.05.2009, 23:25	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Schur-Zerlegung: Untere Dreiecksmatrix Hallo! Ich habe von einer reellen Matrix die Schurzerlegung berechnet: $\begin{eqnarray} A=URU^ \end{eqnarray}$ (wobei U eine unitäre Matrix und R eine obere Dreicksmatrix ist). Nun ist eine unitäre Matrix $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gesucht mit $\begin{eqnarray} A = VLV^* \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ soll eine untere Dreiecksmatrix sein. Bei meinem Beispiel ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und ich habe ein wenig herumprobiert und bin auf folgendes gestoßen: Wenn ich die erste und letzte Spalte von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ vertausche (nennen wir diese Matrix $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} V^AV = L \end{eqnarray}$ berechne, dann komme ich auf eine untere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} L=R^t \end{eqnarray}$ . Das ist sicher kein Zufall. Aber warum ist das so? Weil es gilt ja: $\begin{eqnarray} R^t = U^A^tU \end{eqnarray*}$
26.05.2009, 23:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schur-Zerlegung: Untere Dreiecksmatrix Kannst du mal deine Matrix zeigen? Dein letztes Argument verstehe ich nicht. Denn Transponieren ist doch etwas anders als Spalten vertauschen. Ad hoc sehe ich die Lösung nicht. Imho sollte man einen Blick in den Beweis von Schur werfen und wie dort U konstruiert wird. Das kann man ja ggf. umkehren.
26.05.2009, 23:50	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schur-Zerlegung: Untere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ \frac 2 3 & -\frac 1 3 & \frac 5 3 \\ \frac 4 3 & \frac 4 3 & \frac 1 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U=\begin{pmatrix} -\frac 1 3 & \frac{10}{39}\sqrt{13} & -\frac{2}{39}\sqrt{13} \\ \frac 2 3 &\frac{1}{39}\sqrt{13} & -\frac{8}{39}\sqrt{13} \\ \frac 2 3 & \frac{4}{39}\sqrt{13} & \frac{7}{39}\sqrt{13} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} 1 & \frac{6}{13}\sqrt{13} & \frac{4}{13}\sqrt{13} \\ 0 &1 & -3 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun die erste Spalte mit der letzten Spalte von U(=V) vertausche, komme ich auf: $\begin{eqnarray} V=\begin{pmatrix} -\frac{2}{39}\sqrt{13} & \frac{10}{39}\sqrt{13} & -\frac 1 3\\ -\frac{8}{39}\sqrt{13} &\frac{1}{39}\sqrt{13} & \frac 2 3 \\ \frac{7}{39}\sqrt{13}& \frac{4}{39}\sqrt{13} & \frac 2 3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V^AV = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 &1 & 0 \\ \frac{4}{13}\sqrt{13} & \frac{6}{13}\sqrt{13}& -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich sehe gerade, dass es doch nicht $\begin{eqnarray} R^t \end{eqnarray*}$ ist (zwei Elemente sind vertauscht), aber trotzdem, warum wird das eine untere Dreiecksmatrix?
26.05.2009, 23:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schur-Zerlegung: Untere Dreiecksmatrix Wie gesagt, warum wurde denn U so konstruiert. Du hast U permutiert, drucke das mal durch Matrizen aus. Was stellst du dann fest? Generelle Idee müßte spiegeln der Spalten sein....
27.05.2009, 10:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schur-Zerlegung: Untere Dreiecksmatrix Also deine Idee läßt sich mit einer Matrix "Spiegelmatrix" der Gestalt und Eigenschaften: $\begin{eqnarray} S:=\begin{pmatrix}0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^T=S=S^{-1} \end{eqnarray}$ wie folgt ausdrücken. $\begin{eqnarray} L=(US)^TA(US) \end{eqnarray}$ Schauen wir uns den Ausdruck weiter an. $\begin{eqnarray} S^TU^TAUS = S^TRS = SRS \end{eqnarray}$ Was macht nun die Matrix S. Von rechts ran multipliziert vertauschst sie die Spalten (spiegeln an der "Mittleren" Spalte.) Wir erhalten ein oberes Dreieck, aber oberhalb der Nebendiagonale. S von links multipliziert liefert eine Zeilenspiegelung, somit dann die Gewünschte untere Dreiecksmatrix.

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