summe berechnen

27.05.2009, 10:24

dura

Auf diesen Beitrag antworten »

summe berechnen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}1/(n^2-1) \end{eqnarray*}$

laut maple genau 3/4
jetzt frag ich mich nur wie man das berechnen soll.

ausserdem soll man das ergebnis dann noch mit der partialbruchzerlegung des cotangen nachprüfen.

hat wer ne idee?

27.05.2009, 10:35

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das Paradebeispiel einer Teleskopsumme bzw. -reihe . Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2009, 10:40

dura

Auf diesen Beitrag antworten »

das hab ich nicht gesehen ^^
gleich mal probieren.
aber direkt ne andere frage.
wollte das mim integralkriterium machen, schaff es aber nicht das integral zu lösen.
habs erst index verschoben, dass es von 1 weg läuft:
dann steht halt da integral von 1-oo von 1/((n+1)²-1)

wie löst man das integral?

27.05.2009, 10:47

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du jetzt auf Konvergenz prüfen oder den Reihenwert ermitteln verwirrt

verwirrt

air

27.05.2009, 10:58

dura

Auf diesen Beitrag antworten »

reihenwert ermitteln.

1) wegenh der teleskopsumme: dachte das geht nur bei endl. summen, nicht bei unendl. Reihen ?? was soll da mein letztes gleid sein, oder kann ich die vernachlässigen, da sich alle bis auf 1/2 und 1/4 wegzuheben scheinen?

2) kann mir wer mit dem integral helfen. auch wenn es jetzt für die aufgabe nicht mehr unbed. notwendig scheint.

3) kapier nicht wie das mit partialbruchzerl. des cot funktioniert

27.05.2009, 11:02

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dura
1) wegenh der teleskopsumme: dachte das geht nur bei endl. summen, nicht bei unendl. Reihen ?? was soll da mein letztes gleid sein, oder kann ich die vernachlässigen, da sich alle bis auf 1/2 und 1/4 wegzuheben scheinen?

Hast du dir den Link wirklich angeschaut? unglücklich

unglücklich

Da steht ganz genau, wie mit einer (unendlichen) Teleskopreihe umzugehen ist.

air

Anzeige

27.05.2009, 11:28

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@dura

Von welchem Integral sprichst du denn überhaupt?

Zitat:

Original von dura
wollte das mim integralkriterium machen, schaff es aber nicht das integral zu lösen.
habs erst index verschoben, dass es von 1 weg läuft:
dann steht halt da integral von 1-oo von 1/((n+1)²-1)

Soll das

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2-1} ~ \dd n \end{eqnarray*}$

bedeuten? Falls ja, was nützt dir das bei der Berechnung der obigen Reihe? Damit kannst du höchstens die obige Reihe nach unten abschätzen, was eigentlich nichts bringt.

27.05.2009, 12:32

dura

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das sollte es bedeuten

Zitat:

Original von dura

2) kann mir wer mit dem integral helfen. auch wenn es jetzt für die aufgabe nicht mehr unbed. notwendig scheint.

manche dinge interessieren mich einfach smile

smile

27.05.2009, 12:34

dura

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

Original von dura
1) wegenh der teleskopsumme: dachte das geht nur bei endl. summen, nicht bei unendl. Reihen ?? was soll da mein letztes gleid sein, oder kann ich die vernachlässigen, da sich alle bis auf 1/2 und 1/4 wegzuheben scheinen?

Hast du dir den Link wirklich angeschaut? unglücklich

unglücklich

Da steht ganz genau, wie mit einer (unendlichen) Teleskopreihe umzugehen ist.

air

nein, schau eher in meine skripten als auf wiki.
davon abgesehen bringt mir die einzeilige wiki erklärung bei dem bsp nichts.
bzw check ichs in dem zusammenhang nicht

27.05.2009, 12:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dura
manche dinge interessieren mich einfach smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int_2^{\infty}~\frac{1}{x^2-1}~dx \end{eqnarray*}$ geht wie auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}~\frac{1}{n^2-1} \end{eqnarray*}$ mit Partialbruchzerlegung. Ist das Vorgehen denn jetzt klar oder wie ist die Gemengelage? Sich jetzt etwas auf Wiki anzuschauen, kann ja nicht das große Problem sein, oder?

27.05.2009, 13:31

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wikipedia.de - Teleskopsumme:

Eine Reihe, deren Teilsummen Teleskopsummen sind, heißt Teleskopreihe. Eine Teleskopreihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty (a_i - a_{i+1}) \end{eqnarray*}$
ist genau dann konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann gleich $\begin{eqnarray*} a_1 - g \end{eqnarray*}$

Was ist bitte an diesem Teil für dich unverständlich?
Ich finde es eine Frechheit, dass sich manche User hier die Mühe machen, zu helfen, Links posten und man diese auch noch stillschweigend ignoriert, sie nicht durchliest und dann so tut, als hätte man es nicht verstanden !
Aber am Besten ist es dann, wenn man es hinterher sagt und sich nicht einmal dann die Mühe macht, das, was dort steht, zu verstehen. Denn diese zwei Sätze sind sicherlich nicht so schwer zu verstehen, oder? unglücklich

unglücklich

Und wenn doch, dann sagt man eben, was genau man daran nicht versteht - und schweigt es nicht tot.

Für das Gesamtproblem mag wikipedia ja nicht reichen. Aber ich habe dir explizit nochmal angegeben, dass der Link wertvoll ist, wenn es um die Frage geht, wie man mit unendlichen Reihen umzugehen hat.

air

27.05.2009, 14:49

dura

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader

Zitat:

wikipedia.de - Teleskopsumme:

Eine Reihe, deren Teilsummen Teleskopsummen sind, heißt Teleskopreihe. Eine Teleskopreihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty (a_i - a_{i+1}) \end{eqnarray*}$
ist genau dann konvergent, wenn $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann gleich $\begin{eqnarray*} a_1 - g \end{eqnarray*}$

Was ist bitte an diesem Teil für dich unverständlich?
Ich finde es eine Frechheit, dass sich manche User hier die Mühe machen, zu helfen, Links posten und man diese auch noch stillschweigend ignoriert, sie nicht durchliest und dann so tut, als hätte man es nicht verstanden !
Aber am Besten ist es dann, wenn man es hinterher sagt und sich nicht einmal dann die Mühe macht, das, was dort steht, zu verstehen. Denn diese zwei Sätze sind sicherlich nicht so schwer zu verstehen, oder? unglücklich

unglücklich

Und wenn doch, dann sagt man eben, was genau man daran nicht versteht - und schweigt es nicht tot.

Für das Gesamtproblem mag wikipedia ja nicht reichen. Aber ich habe dir explizit nochmal angegeben, dass der Link wertvoll ist, wenn es um die Frage geht, wie man mit unendlichen Reihen umzugehen hat.

air

und ich finde es eine frechheit, dass du mir sachen unterstellst statt eine konstruktiven beitrag zu leisten! vielen dank dafür!!

was daran für mich "bitte unverständlich" ist?
$\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$
is damit die partial summe, das ai oder das a(i+1) gemeint
ich bitte vielmals um verzeihung, dass ichs nicht verstehe!!!!

ich denke der GW ist 0
1/2 + 0 =/= 3/4
als GW müsste da 1/4 stehen bleiben, aber wo?
aber hast recht, ich mach das mit böswilliger absicht und wills auch nicht verstehen, deswegen registriert man sich ja in nem forum gell?

bei mir steht jetzt sowas:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}(1/(2(n-1)) - 1/(2(n+1))) \end{eqnarray*}$

es kommt da jetzt schön 3/4 raus aber wie ist der zusammenhang zum GW der (ak) ?

27.05.2009, 15:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dura
bei mir steht jetzt sowas:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}(1/(2(n-1)) - 1/(2(n+1))) \end{eqnarray*}$

Bei allem Gemaule solltest du zumindest darauf achten, daß die mathematischen Formeln formal stimmig sind.

Für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k^2 - 1} \end{eqnarray*}$ betrachtest du die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{k=2}^{n}~\frac{1}{k^2 - 1} = \sum_{k=2}^{n}~(\frac{1}{2(k - 1)} - \frac{1}{2(k + 1)}) \end{eqnarray*}$

Wegen der Teleskopeigenschaft ist dann $\begin{eqnarray*} S_n := \frac{1}{2(2 - 1)} - \frac{1}{2(n + 1)} \end{eqnarray*}$ . Nun noch n gegen unendlich laufen lassen. Fertig.

EDIT: Letzeres ist leider falsch. Die Korrektur ist in meinem nächsten Beitrag.

27.05.2009, 15:21

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

was daran für mich "bitte unverständlich" ist?

Jetzt kommt man mal voran!
Der Punkt ist: Eben noch behauptest du, es dir nicht durchzulesen. Auf einmal hast du es gelesen, aber nicht verstanden. Entscheide dich!

Und wenn du es nicht verstehst, bringt es gar nichts, das nicht zu sagen und die selbe Frage nochmal zu stellen. Jetzt hast du eine konkrete Frage gestellt, und die kann man beantworten.

Mit $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist schlicht die Folge gemeint - im Gesamten. Konvergiert die Folge, konvergiert die Teleskopreihe.

Edit:
Im Übrigen geht es nicht darum, dass du nicht verstehst. Du hast es richtig erkannt - darum kommst du hier her. Aber man kann ja wohl verlangen, dass du das, was man dir schreibt, auch anschaust, zu verstehen versuchst und wenn es auch nicht reicht, dies konkret sagst - und nicht ignorierst.

air

27.05.2009, 15:27

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

Es gibt hier ein Missverständnis zu klären: In der Teleskopsumme

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1} \right) = \sum_{k=2}^n (a_k-a_{k+1}) \end{eqnarray*}$

(das 1/2 lasse ich mal weg) ist nicht $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Sondern $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{k-1} + \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ , sozusagen "Teleskop mit Offset 2" statt wie meist üblich Offset 1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2009, 17:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich doch glatt was übersehen. Hammer

Hammer

Danke Arthur.

Also ich korrigiere meinen obigen Beitrag:

Wegen der Teleskopeigenschaft ist dann $\begin{eqnarray*} S_n := \frac{1}{2(2 - 1)} + \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n + 1)} \end{eqnarray*}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »