lokaler versus globaler Dikretisierungsfehler

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spudx Auf diesen Beitrag antworten »
lokaler versus globaler Dikretisierungsfehler
So, ich muss auch mal das geballte Wissen hier in Anspruch nehmen.

Ich verstehe den Unterschied zwischen dem lokalen und dem globalen Diskretisierungsfehler nicht. (es geht um das Thema Einschrittverfahren)

Der globale Disretisierungsfehler, besteht aus der Differenz der exakten Werte, mit den, der durch das Verfahren gelieferte Näherungsverfahren.

ist das so richtig??
wenn ja, was ist nun der lokale??

ich habe im Internet keine Seite gefunden wo es einfach verständlich erklärt wird.

Hoffentlich könnt ihr mir helfen. Vielleicht an einem Beispiel?

Danke
MfG spudx
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Der lokale Diskritisierungsfehler wird innerhalb eines Verfahrensschrittes gemacht und ergibt sich als Differenz der echten Lösung und der numerisch berechneten Lösung.
Durch diese Differenz kann man übrigens auch die Konsistenzordnung berechnen.

Ich hab von einem gloabeln Diskritisierungsfehler noch nicht gehört, aber als ich kurz bei Wiki gelesen haben, kams mir vor, als ob es die Summe der einzelnen lokalen Fehler ist, aber ohne Gewähr.
spudx Auf diesen Beitrag antworten »

... und die Konsistenz gibt Auskunft darüber wie genau das gewählte Verfahren ist. Ist das korrekt?

Wie kann ich nun aus dem lokalen Fehler die Konsistenzordnung bestimmen?

Ich habe versucht bei Wikipedia Konsistenz es zu verstehen.

Doch leider kann ich nicht ganz folgen. Wie die Ordnung ermittelt wird und was ich mit ihr anfangen kann.

Danke für die Hilfe
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konsistenz gibt die Güte deines numerischen Verfahrens an. Je höher die Ordnung ist , desto besser ist dein Verfahren.
Zb. Euler-Cauchy hatte eine Konsistenzordnung von 1 und das klassische Runge Kutta Verfahren eine von 4.
Jedoch muss man auch berücksichten wie hoch der Rechenaufwand im Verhältniss zur Genauigkeit ist.

Um die Ordnung zu bestimmen musst du den Diskritisierungsfehler betrachten.

echtes Wachstum - numerisches Wachstum (Verfahrensfunktion)

dein echter Zuwachst ist .

Nehmen wir das EC Verfahren. Die Verfahrensfunktion ist einfach

Nunja du musst nun noch die echte Lösung u(t_0+h) mit tayler entwickeln um t_0 und jeweils beide gleichung mit f ausdrücken. Dann bleibt nur noch ein Restterm übrig.

Aber schau dir dazu einen gescheiten Beweis an , ich hab das auch nur sehr sehr grob aus dem Kopf gemacht grade.
spacebee Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann will ich mich mal an einer Antwort versuchen.

Der globale Fehler beschreibt wie weit ich mich von der tatsächlichen Lösung im aktuellen Schritt entfernt habe.
Hat man also eine DGL mit Anfangswert, so hat diese ja (unter den entsprechenden Voraussetzungen) eine 'korrekte' Lösung an der Stelle . Der globale Fehler ist nun die Differenz der numerischen zur korrekten Lösung an der Stelle .

Der lokale Fehler hingegen beschreibt den Fehler, den man in einem Schritt der Rechnung macht.
Dabei wird davon ausgegangen das der im letzten Schritt berechnete Punkt auf der 'korrekten' Lösungskurve liegt. Man betrachtet nun also die Abweichung an der Stelle von der zu lösenden DGL mit dem Anfangswert . Hier gibt es ja wieder eine 'korrekte' Lösungskurve, die von dem berechneten Wert an der Stelle abweicht.

Nun nennt man dann letzteres Konsistenzordnung und ersteres Konvergenzordnung. Bei der Abschätzung der Konvergenzordnung geht man meist davon aus, dass die lokalen Fehler sich höchstens aufaddieren, also gilt daraus kann man dann schön die Konvergenzordnung mit berechnen. Hierbei ist l die betrachte Intervalllänge und n die Anzahl berechneter Schritte.
Das alles schreibt man mathematisch korrekt natürlich etwas anders auf, aber ich hoffe es hilft trotzdem.
spudx Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für die Mühen. Ich glaube ich habe es verstanden.

Danke
 
 
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