Berechnung sich schneidender Kreise bei gegebenem Winkel zwischen den Berührradien (Tangenten)

28.05.2009, 02:41	O2	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung sich schneidender Kreise bei gegebenem Winkel zwischen den Berührradien (Tangenten) Hallo, zugegeben, der Titel des Themas ist etwas schwer zu verstehen/benennen. Es geht dabei um Folgendes: Gegeben seien zwei sich in zwei Schnittpunkten $\begin{eqnarray} S(x_s,y_s) \end{eqnarray}$ schneidende Kreise $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ mit unterschiedlichen Radien $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ im kartesischen Koordinatensystem. Der Einfachheit halber soll angenommen werden, dass der Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ im Ursprung und der Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ auf der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse in $\begin{eqnarray} (0, y_m) \end{eqnarray}$ liegt, wobei $\begin{eqnarray} r_2>r_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_m<0 \end{eqnarray}$ gelten soll. Die Berührradien (Strecke vom Kreismittelpunkt zum Schnittpunkt) oder Tangenten im Schnittpunkt stehen dabei im Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zueinander. http://dh-edv.de/images/Kreischnittwinkel.gif Die Kreisgleichungen lauten: $\begin{eqnarray} K_1: x^2+y^2=r_1^2 \quad , \quad K_2: x^2+(y-y_m)^2=r_2^2 \end{eqnarray}$ Zur Berechnung der (Funktionswerte beider) Schnittpunkte lassen sich die beiden Gleichungen leicht nach $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ umformen, gleichsetzen und nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösen: $\begin{eqnarray} y_s=\frac{r_2^2-r_1^2-y_m^2}{2y_m} \end{eqnarray}$ Die beiden x-Werte der Schnittpunkte erhält man dann durch Einsetzen von $\begin{eqnarray} y_s \end{eqnarray}$ z.B. in $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x_s=\pm\sqrt{r_1^2-y_s^2} \end{eqnarray}$ Wegen der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achsen-Symmetrie soll im Folgenden nur noch der Fall für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ betrachtet werden. Der Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zwischen beiden Kreiskurven im Schnittpunkt $\begin{eqnarray} (x_s,y_s) \end{eqnarray}$ lässt sich über die Steigungen $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_2 \end{eqnarray}$ der Berührradien oder die Steigungen der beiden Tangenten im Schnittpunkt berechnen: $\begin{eqnarray} m_1=\frac{y_s}{x_s} \quad , \quad m_2=\frac{y_s-y_m}{x_s} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi=\tan^{-1}(m_2)-\tan^{-1}(m_1) \end{eqnarray}$ So weit so gut. Sind jedoch umgekehrt bei gleicher Anordnung nur der erste Radius $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ bekannt und der oben beschriebene Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} y_m \end{eqnarray}$ oder alternativ z.B. der obere Abstand beider Kreise $\begin{eqnarray} d:=r_1-r_2-y_m \end{eqnarray}$ vorgegeben, wird die Sache schon komplizierter. Zwar gelingt noch die Berechnung von $\begin{eqnarray} m_2 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ mittels Additionstheorem des Tangens $\begin{eqnarray} m_2=\frac{\tan\varphi+m_1}{1-m_1 \tan\varphi} \end{eqnarray}$ und das Ersetzen von $\begin{eqnarray} m_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac{y_s-y_m}{x_s}=\frac{x_s \tan\varphi+y_s}{x_s-y_s \tan\varphi} \end{eqnarray}$ aber mit dem Ersetzen von $\begin{eqnarray} y_s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_m \end{eqnarray}$ wird die Sache dann doch arg komplex, und irgendwie gelingt es mir nicht, die Terme zu vereinfachen. Ich hoffe, dass Problem ist noch richtig in der Rubrik "Geometrie" angesiedelt, und vielleicht gibt es ja auch einen anderen (geometrischen) Weg für eine einfache(re) Lösung. Schön wäre eine Funktion(sgleichung) der Form $\begin{eqnarray} r_2(r_1,d,\varphi) \end{eqnarray}$ oder ein Algorithmus, den ich in eine Programmiersprache umsetzen kann, so dass ich mit dem Programm für verschiedene Eingabeparameter den entsprechenden zweiten Radius $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ schnell mehrfach berechnen lassen könnte. Wer kann mir dabei helfen?
28.05.2009, 10:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung sich schneidender Kreise bei gegegeben Winkel zwischen den Berührradien (Tangenten) ich habe das koordinatensystem etwas anders gewählt, ich will mich nicht mit vorzeichen plagen dann hast du ganz einfach mit dem cosinussatz: $\begin{eqnarray} r_2(r_1,d,\alpha)=\frac{d^2-2d\cdot r_1}{2(r_1\cdot (1-cos\alpha)-d)} \end{eqnarray}$ edit: mit $\begin{eqnarray} M_1(0/n)\to n=d+r_2-r_1 \end{eqnarray}$
29.05.2009, 09:36	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Lob Hallo O2, so eine einwandfreie und sprachlich ausgezeichnete Formulierung des Problems ist mir bisher noch nicht untergekommen. Alleine die Wahl des Titels lässt auf deine Problematik schließen (lapidar und prägnant), und sie ist vollkommen in Ordnung. Ein ausgesprochenes Lob dafür, als es dein aller erster Beitrag ist. Viele User hier können sich an dir (auch angesichts deines Alters) ein Beispiel daran nehmen. Es freut mich, dass ich endlich mal wieder etwas "Schönes" lesen durfte. Gruß Rechenschieber PS. Mich interessiert, wofür du diese Rechnung machst /brauchst. Einen Hochschulabsolventen kann ich mir in dir nicht vorstellen.
30.05.2009, 12:19	O2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung sich schneidender Kreise bei gegebenem Winkel zwischen den Berührradien (Tangenten) Hallo, @Werner: Vielen Dank für die schnelle und kompetente Hilfe! Ich bin doch immer wieder verwundert, wie einfach doch die Lösungen sein können. Die Idee mit dem Verschieben des Koordinatensystems hatte ich kurz nach Abschicken meines Beitrages auch noch, allerdings war mir der Kosinussatz nicht (mehr) geläufig, so dass ich wohl nicht allein auf die Lösung gekommen wäre. Ich werde mir die Herleitung und den Beweis des Satzes bei Gelegenheit mal genauer anschauen. Für alle evtl. Interessierte sei er hier noch einmal aufgeführt (mit den Benennungen von Werner): $\begin{eqnarray} m^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\alpha \end{eqnarray}$ Einsetzen von $\begin{eqnarray} m=r_2-2r_1+d \end{eqnarray}$ und Auflösung nach $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ (die Quadrate $\begin{eqnarray} r_1^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_2^2 \end{eqnarray}$ kürzen sich erfreulicher Weise raus) ergibt dann die Lösungsgleichung. Ich habe mit der Formel sogleich in Excel experimentiert und die Richtigkeit zusätzlich auch praktisch mit Hilfe eines CAD-Programms überprüfen können. Sehr interessant ist auch der streng monoton steigende Verlauf des Grafen der Funktion. Setzt man den Nenner gleich 0 und löst die Gleichung nach $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ auf, so erhält man $\begin{eqnarray} r_1=\frac{d}{1-\cos\alpha} \end{eqnarray}$ als Obergrenze für den Radius des ersten Kreises. Der Radius des zweiten Kreises wäre dann unendlich groß, d.h. $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ würde zu einer waagerechten Geraden im Abstand $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ zum Maximum von $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ "mutieren". @Rechenschieber: Danke für das Lob. Die Formulierung und Aufbereitung meiner Fragestellung war zwar (zeitlich) etwas aufwendig, jedoch dachte ich mir, dass eine gut ausgearbeitete Fragestellung eine ebenso gut ausgearbeitete Antwort nach sich ziehen könnte. Dieses Kalkül ist aufgegangen :-). Außerdem kann ich deinen Wunsch nach einer "schön lesbaren" Fragestellung gut nachvollziehen, sowohl aus Schüler- als auch aus Lehrersicht. Zu deiner Überlegung in Richtung "Hochschulabsolvent" kann ich dir sagen: ja bin ich, aber es ist nun auch schon eine Weile her ;-) Die Ausarbeitung hat mir auch deshalb sehr viel Freude bereitet, da ich auch beruflich eine hohe Internet-Affinität besitze und z.B. die Möglichkeit der einfachen, praktischen und ästhetischen LaTeX-Renderung in einem Forum sehr gerne mal ausprobieren wollte. Nicht zuletzt hat bei mir die Mathematik auch immer einen praktischen Nutzen. So will ich auch dein Interesse nach dem Grund meiner Fragestellung befriedigen. Und zwar handelt es sich um eine aktuelle Problemstellung aus dem Eisenbahn-Modellbau, hier speziell bei der Planung und Anfertigung von Selbstbau(bogen)weichen. Ich setze mal voraus, dass die Grundlagen von Schienen und Weichen bekannt sind. Zur Illustration füge ich aber dennoch ein Beispielfoto einer sogenannten Innenbogenweiche an, bei der sich die Strecke in zwei Stränge mit unterschiedlichen Radien aber in gleicher Richtung verzweigt: http://www.kuestenbahn.de/modell/spur1/weichenbau/Bogenweiche.jpg Die Außenschiene des inneren Bogens ( $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ ) und die Innenschiene des äußeren Bogens ( $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ ) schneiden sich im sogenannten Herzstück der Weiche. Die Herstellung des Herzstückes im Modell (und wohl auch beim Vorbild) gehören zu den aufwendigen Arbeiten, so dass hierbei gerne auf vorgefertigte Bauteile mit vorgegebenen Winkel zurück gegriffen wird. Ist nun bei der Gleisplanung einer der Radien bereits vorgegeben, stellt sich bei der geplanten Verwendung des vorgefertigten Herzstückes die Frage nach dem sich daraus resultierenden Radius des zweiten Weichenbogens (Die durch die mehr oder weniger starre Ausführung des vorgefertigten Herzstückes bedingten kleinen Abweichungen bleiben dabei der Einfachheit halber unberücksichtigt). Der oben beschriebene, maximale Radius $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ lässt sich übrigens als eine (normale) Weiche mit einem geraden Strang interpretieren. Der Abstand $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ entspricht der Spurweite des Gleises. Abschließend möchte ich erwähnen, dass die Beschäftigung mit dem Thema Modelleisenbahn mir in der Vergangenheit eine Fülle von praktischen, anwedungsfallorientierten, anspruchsvollen mathematischen Fragestellungen geliefert hat, mit denen man ein ganzes Semester Geometrie-Unterricht thematisch zusammenhängend füllen könnte. Als weitere Beispiele seien hier die Berechnung von "Mindestparallelbogengleisabständen" und von Übergangsbögen (Klothoiden) aufgeführt. Ich kann mir gut vorstellen, dass bald das nächste mathematische Problem aus diesem Bereich auf seine Lösung wartet. Danke noch mal O2
30.05.2009, 13:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung sich schneidender Kreise bei gegebenem Winkel zwischen den Berührradien (Tangenten) ich bin zwar auch ein mit sehr bescheidenen mitteln kämpfender fan der analytischen geometrie, aber des öfteren führt halt die trigonometrie viel einfacher und rascher ans ziel der beweis des cosinussatzes ist recht einfach, man findet ihn z.b. sogar bei wiki
31.05.2009, 03:08	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer wieder bewahrheitet es sich, dass die Mathematik unser Leben beherrscht. Ich war vor vielen Jahren auch Modellbauer und besitze sogar noch die "alten" Gleisbaupläne von Arnold_Rapido in zwei Bänden, mit wunderbarer Erklärung der Elektronik. Erst H0, dann der Umstieg auf 9 mm, bzw. Spur N. Ein faszinierendes Gebiet, wobei ich auch den Berichten Folge leiste, was in Hamburg mit der riesigen Modellbauanlage abläuft. Du wirst es nicht glauben, dass ich mit 50 Jahren begonnen habe, die Grundzüge der Integralrechnung zu erlernen. Ohne Abi, wohlgemerkt. Nur des Interesses wegen. Vor allem haben mich die Rotationskörper, Splines und Bezier's interessiert, weil ich außerdem beruflich Auto-CAD (und auch Zeichnen in 3D) studieren musste (Kuppelbau, Wendeltreppen, Gebäudeschnitte etc.). Und wie so oft steht man irgendwann vor einem Problem (was eigentlich gar keines ist; bis auf die sieben ungelösten Fälle der Mathematik ), oder hat wirklich nur ein Brett vor dem Kopf. Nur um nicht einzurosten, "fröne" ich der Mathematik. Leider sind mir viele Dinge verborgen geblieben, so auch die modernen Schreibweisen einiger Teilgebiete. Bezüglich Modellbau können wir gerne PN's austauschen, oder uns in einem Forum deiner Wahl treffen. Und nun viel Erfolg mit deinem Vorhaben. LGR
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »